Creo que la categoría de la teoría es uno de los la mayoría de las teorías fundamentales de las matemáticas, y se está convirtiendo en una teoría fundamental para otras ciencias. Nos permite comprender muchos de los conceptos en un alto, unificada nivel. Categórica métodos son de carácter general, pero por supuesto que se puede aplicar a categorías específicas, y por lo tanto nos ayudan a resolver problemas específicos. Yo soy no pidiendo canónica de aplicaciones en las que la categoría de la teoría se utiliza. He leído todas las respuestas similar a la de las matemáticas.SE pregunta sobre las aplicaciones de la categoría de teoría, pero que no se adaptan a mi siguiente pregunta. Me gustaría preguntar por las aplicaciones de las nociones de "categoría", "functor", y "transformación natural" (tal vez también "límite" y "contigüidad") , que van más allá de las descripciones, pero en realidad la solución de problemas específicos en una forma elegante. Soy consciente de muchas, muchas pruebas de teoremas que tienen la categoría de la teoría de mejoras, en particular por medio de la Yoneda Lema, pero yo no estoy buscando este tipo de aplicaciones. Así que mi pregunta es (aunque sé que esto no es la tarea de la categoría de la teoría de la):
Puede que el nombre específico y bastante fáciles de entender teorema, cuya declaración, naturalmente, no contiene ninguna categórica nociones, pero cuya prueba se introduce una categoría adecuada / functor / transformación natural en una forma crucial y usos básicos de la categoría de la teoría? La prueba no sólo debe depender de una gran teoría (como la aritmética geometría), cuyo desarrollo se ha utilizado la categoría de teoría a lo largo de décadas. La prueba no debe ser sólo una categoría de la versión de prueba que ya era conocido.
Así que aquí está un ejemplo de este tipo, tomado de Hartig maravilloso de la ponencia "La Representación de Riesz Teorema Revisited", y esperemos que haya más de ellos: Vamos a $X$ ser un compacto Hausdorff espacio, $M(X)$ el espacio de Banach de medidas de Borel en $X$$C(X)^*$, el doble del espacio de Banach de funciones continuas en $X$. La integración proporciona una isometría lineal $$\alpha(X) : M(X) \to C(X)^*, ~ \mu \mapsto \bigl(f \mapsto \int f \, d\mu\bigr).$$ La Representación de Riesz Teorema afirma que esto es un isomorfismo. Para el "categórico" a prueba, observar que los mapas de $\alpha(X)$ son en realidad natural, es decir, proporcionar una transformación natural $\alpha : M \to C^*$. El uso de connaturalidad y los hechos de análisis funcional, tales como el de Hahn-Banach Teorema, una muestra de que si $X$ satisface la demanda y admite un surjective mapa a$Y$, $Y$ satisface la demanda. Ya que cada compacto de Hausdorff espacio es el cociente de una extremally desconectado espacio, a saber, la de Stone-Cech-compactification de su conjunto subyacente, por consiguiente, se puede suponer que $X$ es extremally desconectado. Ahora aquí viene la real de las matemáticas, y me limitaré a decir que hay suficiente clopen subconjuntos que le permiten construir suficiente funciones continuas. El caso general se ha reducido a un muy fácil, usando el concepto de la transformación natural.
