¿Cuál es la definición exacta de un subconjunto acotado en un espacio métrico (en relación con el teorema de Heine-Borel)?

Question

Veo un montón de diferentes definiciones de un espacio delimitado. Por ejemplo, desde nLab:

Deje $E$ ser un espacio métrico. Un subconjunto $B⊆E$ es acotado si existe algún número real $r$ tal que $d(x,y)<r$ todos los $x,y∈B$.

De La Wiki:

Un subconjunto $S$ a de un espacio métrico $(M, d)$ es acotada si está contenido en una bola de radio finito, es decir, si existe $x$ $M$ $r > 0$ tal que para todos los $s$$S$,$d(x, s) < r$.

Si he entendido correctamente, la primera definición requiere que el origen de la "open disc" debe estar dentro del subconjunto, mientras que la segunda definición no tiene esta restricción. Son estas definiciones que de alguna manera el mismo o son diferentes? Si no se cual es la correcta?

La motivación para esta pregunta es porque quiero entender lo que el Heine-Borel Teorema de medios.

Answer 1

Ellos son lo mismo. Digamos que tiene$x$ con$M \subset B_r(x)$, donde$B_r(x) = \{y \,:\, d(x,y) < r\}$. Luego elige un$z \in M$ arbitrario. Debido a la desigualdad del triángulo, tiene $$ M \ subconjunto B_ {r d (x, z)} (z) \ text {.} $$

Answer 2

Las dos definiciones son equivalentes, permítanme dar una prueba rápida:

Sea$B\subseteq E$ un subespacio de un espacio métrico$(E,d)$.

$\Rightarrow$: Asume que existe un$r>0$ tal que$d(x,y)<r$ para todos$x,y\in B$. Corrija cualquier$p$ en$B$ entonces$d(p,x)<r$ para todos$x\in B$.

$\Leftarrow:$ Supongamos que hay un$p\in E$ y$r>0$ tal que$d(p,x)<r$ para todos$x\in B$

Answer 3

Son equivalentes. Eso es maravilloso porque significa que usted consigue utilizar la definición más conveniente para lo que usted está intentando hacer. Como ejercicio, debe probar que cada uno implica el otro.