Mostrar que $f(z) = z^5+3z^4+9z^3+10$ $2$ ceros en la unidad de disco
Estoy tratando de uso del teorema de Rouch.
Así que traté de encontrar una función de $g$ que tiene 2 ceros en la unidad de disco y:
$$|f(z)- g(z)| < |f(z)|+|g(z)| \quad \forall z \in \mathbb{D} \quad \text{(1)}$$
Sin embargo, no he podido encontrar dicha función.
He intentado $g(z) = 3z^4+9z^3+10$. Esta función ha $2$ ceros en la unidad de disco según Wolfram Alpha. Yo no era capaz de demostrar $(1)$ y $g$ ha $2$ ceros en la unidad de disco con un método analítico.
Yo hice lo mismo para la función de $g(z) = z^5+9z^3+10$ que tiene dos ceros en la unidad de disco por Wolfram Alpha. Tampoco funcionaba.
Podría alguien ayudar a demostrar que $f$ $2$ ceros en la unidad de disco?
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abyss.7
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Esta es una técnica para resolver el problema más general de contar el número de ceros de un polinomio en el interior del círculo unidad. Se podría usar para otras curvas distinto del círculo. Todo lo que se necesita es ser capaz de asignar a una línea mediante una función racional.
La idea es utilizar el argumento de principio en su lugar: El número de ceros de un polinomio acostado dentro de un bucle es el número de veces que la imagen de ese bucle por el polinomio vientos alrededor del origen. Pero el círculo unitario es difícil de adiciones. Es por eso que una bonita prueba por Rouch puede ser difícil a veces.
Vamos, en lugar del mapa de la unidad de círculo a la línea imaginaria.
Usted puede saber una función racional que hace el mapa, pero podemos derivar paso a paso.
- Traducir el círculo de una unidad a la derecha. $z= x-1$.
- Luego de hacer la inversión. La inversión sería de $x = 1/\overline{y}$. Pero dado que los coeficientes son reales, el conjugado no importa. Así que le $x=1/y$. Tenemos una función racional de las cuales sólo se preocupan por el numerador (un polinomio). Si el cero es una solución, entonces se $-1$ es una solución de la original polinomio y que debemos he probado antes de la mano. Después de esto, el círculo consiguió asignado a la línea vertical que pasa a través de (1/2,0).
- Finalmente podemos traducir a la izquierda por 1/2. y = w+1/2.
Así, tenemos algunos polinomio con coeficientes reales. Vamos a evaluar en $w = ir$ $r$ real.
Ahora, separar la parte imaginaria y la parte real. Tanto los polinomios de grado menor. Para este problema en particular pienso que llegamos $$(880r^4-392r^2+23)+r(96r^4-912r^2+54)i$$
Ahora, para determinar el número de veces que los vientos alrededor del origen sólo tenemos que ver cómo se salta de un cuadrante a cuadrante. El recuento de las raíces (no hay necesidad de la determinación precisa) se puede hacer con Sturm del teorema en general.
Para este problema en particular el trabajo es mucho más fácil. Para $r=0$ estamos en el punto (23,0). Los polinomios $880r^4-392r^2+23$ $96r^4-912r^2+54$ son sólo cuadráticas en el disfraz. Uno puede calcular las raíces si así lo quisieran.
Pero todo lo que importa es su posición relativa, en la que creo que es $ABBAABBA$, donde el $A$'s representan las raíces del polinomio de segundo y el $B$'s representan las raíces de la primera. Tomar en cuenta el factor de $r$ en el imaginario de la parte, que también cambia de signo al $r$ cruza por cero.
Que el fin de las raíces indica el signo de la parte imaginaria y real de parte de cada uno de los intervalos entre las raíces. Esto le indica a qué cuadrante toda la expresión se está moviendo. A partir de la sucesión de los cuadrantes de contar con la liquidación número y que es su número.
