Si $f (x) +f'(x) = x^3+5x^2+x+2$ entonces encontrar $f (x)$

Question

Si a continuación encontrar $f (x) +f'(x) = x^3+5x^2+x+2$ $f(x)$.

$f'(x)$ es el primer derivado de $f (x)$.

Tengo ninguna idea acerca de esta pregunta, por favor me ayude.

Answer 1

Si usted está buscando todas las soluciones, se puede resolver esto como una ecuación diferencial lineal de primer orden, que será la suma de la solución homogénea (una función exponencial) y una solución particular, que será un polinomio de grado 3.

$f(x) = C e^{-x} + x^3 + 2 x^2 - 3 x + 5$

Si estás haciendo esta fuera del contexto de las ecuaciones diferenciales y estás buscando una solución (única), no tiene sentido buscar un polinomio de grado 3, ya que la derivada de un polinomio es de nuevo un polinomio, pero en un grado menor.

Así que decir $f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$, encontramos a $f'(x)$ y enchúfelo a resolver para $a,b,c,d$:

$$ \left( ax^3+bx^2+cx+d \right) + \left( ax^3+bx^2+cx+d \right)' = x^3+5x^2+x+2 \iff \ldots$$

$f(x) = x^3 + 2 x^2 - 3 x + 5$

Answer 2

Si $f(x)$ tiene grado $n $ $ f'(x) $ tiene $n-1$. Aquí el más alto grado es $3$ así $ f (x) $ es un polinomio de grado $3$. Por lo tanto que $f (x)=ax^3+bx^2+cx+d $ $f (x)+f'(x)=ax^3+bx^2+cx+d+3ax^2+2bx+c $ así pues, tenemos ahora que comparan tenemos $ a=1,3a+b=5,c+2b=1,d+c=2$ así $ f(x)=x^3+2x^2-3x+5.$

Answer 3

De la manera difícil:

Usted puede utilizar el hecho de que $$(e^xf(x))'=e^x(f(x)+f'(x)).$$

Entonces

$$(e^xf(x))'=e^x(x^3+5x^2+x+2).$$

Ahora, a través de la integración (que puede ser realizada por partes, integración de $e^x$),

$$e^xf(x)=\int e^x(x^3+5x^2+x+2)dx=e^x(x^3+2x^2-3x+5)+C$$ y

$$f(x)=x^3+2x^2-3x+5+Ce^{-x}.$$

[Dudo que este sea el método que se espera que el uso...]

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Empíricamente:

Supongamos que la solución está cerca de a $f_0(x)=x^3$ y dejar que nos conecte en la ecuación dada.

$$f_0(x)+f'_0(x)=x^3+3x^2\ne x^3+5x^2+x+2.$$ But we are off by the polynomial $$2x^2+x+2$$ que es de un grado inferior.

Así que tratemos de $f_1(x)=x^3+2x^2$, dando

$$f_1(x)+f'_1(x)=x^3+5x^3+4x\ne x^3+5x^2+x+2.$$

Esta vez, estamos a sólo fuera por $-3x+2$, un grado menos.

$$f_2(x)=x^3+2x^2-3x$$ then $$f_2(x)+f'_2(x)=x^3+5x^2+x-3.$$

Y, finalmente,

$$f_3(x)=x^3+2x^2-3x+5$$ ha convergido a una solución.

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Epílogo:

Supongamos que existe otra solución $f$ que es diferente de $f_3$.

De

$$f(x)+f'(x)=f_3(x)+f'_3(x)= x^3+5x^2+x+2,$$ podemos extraer que

$$f(x)-f_3(x)+f'(x)-f'_3(x)=0$ $ , que es de la forma

$$g(x)+g'(x)=0.$$

No es difícil demostrar que no polinomio es la opuesta a la de su derivada. En realidad, no hay una sola función derivable tener esta propiedad: la negativa exponencial

$$g(x)=e^{-x}$$ (o múltiplos).

La agrupación de estos resultados,

$$f(x)=x^3+5x^2+x+2+Ce^{-x}.$$

Answer 4

Supongo que el $f(x)$ es un polinomio. Entonces sigue que $\text{deg}f'(x)=\text{deg}f(x)-1$. Entonces podemos deducir que el $\text{deg}f(x) =3$ y $\text{deg} f'(x)=2$.

Escriba $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ sustituir en y resolver.

Answer 5

Asumir una función polinómica de la forma $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ y $f^{'}(x)=3ax^2+2bx+c$ así las ecuaciones se convierte en $ax^3+(3a+b)x^2+(c+2b)x+d+c=x^3+5x^2+x+2$. Ahora usted puede comparar los coeficientes para obtener la solución.