¿Cómo integrar los campos W-boson?

Question

¿Qué es matemáticamente significa 'integrar' la W-bosón de campos para obtener el Fermi de Lagrange a partir de la teoría electrodébil? ¿Cómo lograr este matemáticamente? Es de gran ayuda si alguien puede explicar esto, tanto en la ruta integral de formalismo y el operador del formalismo de la teoría cuántica de campos.

En particular, yo sé que el W-bosón de propagador, $\frac{1}{p^2-m_w^2}$ en el límite de $p^2\ll m_w^2$ hace $-\frac{1}{m_w^2}$. Pero, ¿por qué es una aproximación llamado 'integración' de los campos? ¿Qué estamos haciendo para la MOE cuando estamos haciendo esta aproximación?

Answer 1

En la física clásica, las ecuaciones de movimiento son obtenidas mediante la variación de una acción $S$> Cuando nos digitalizar, consideramos que una ruta integral de la $Z\left[\varphi\right]=\int\mathcal{D}\varphi \text{e}^{iS\left[\varphi\right]}$, una función integral a través de una colección de $\varphi$ de todos los campos, por lo que el $S\left[\varphi\right]$ sólo depende de $\varphi$ y sus derivados. A continuación, los operadores tienen los medios$$\left\langle\mathcal{O}\right\rangle=\frac{\int\mathcal{D}\varphi\mathcal{O} \text{e}^{iS\left[\varphi\right]}}{\int\mathcal{D}\varphi \text{e}^{iS\left[\varphi\right]}}.$$As the definition of functional integration is in its infancy, the starting point is to generalise the famous identity $$\int_{\mathbb{R}^N} d^Nx\text{e}^{-\frac{1}{2}x^TAx+J^Tx}=\frac{\left(2\pi\right)^{N/2}e^{\frac{1}{2}J^2}}{\det A}$$for $N\times N$ symmetric invertible real matrices $$. Taking the $N\to\infty$ limit of an integration measure designed with a normalisation that cancels the power of $2\pi$, we obtain a functional integral I'll get to in a moment. First, let's note that the dot-product $U^TV=\sum_i U_iV_i$ is generalised with an integral, so the result is$$\int\mathcal{D}\varphi\text{e}^{\int\left(-\frac{1}{2} \varphi A\varphi+J\varphi\right)d^Dx}=\text{e}^{\frac{1}{2}J^2}\det D$$with $D:=A^{-1}$ for an invertible operator $$, whatever an operator "determinant" may be! (This assumes a $D$-dimensional spacetime in which $\varphi$ lives. The operator $D$ is, of course, a propagator.) A similar result is obtainable with the replacement $\iA$, and we can use this to consider many integrals of the form $\int\mathcal{D}\varphi\text{e}^{i\int d^Dx\mathcal{L}\left[\varphi,\,J\right]}$, with $\mathcal{L\left[\varphi,\,J\right]}$ a Lagrangian density dependent on the fields and (this is where we get another physical difference) a current $J$. When I say we can consider these integrals, I mean that taking ratios to compute operator means is now possible. As an example, if $\mathcal{O}=e^{-aW^2}$ for a constant $a$ and field $W$ included in $\varphi$, $\left\langle\mathcal{O}\right\rangle$ is computed as a ratio of two integrals, and under the right circumstances the determinants helpfully cancel. More generally, a ratio of the determinants of two operators survives, which we can treat by generalising the matrix result$$\frac{\det \left(A+\epsilon\right)}{\det A}=\det \left(1+D\epsilon\right)\approx\exp\text{tr}D\epsilon$$with $\epsilon$ "small" to a functional result,$$\frac{\det \left(A+\epsilon\right)}{\det A}=\exp{\int d^D x D\epsilon}.$$(For your question, the "square" $W^2=W_\mu W^\mu$.) Note also that the parts of $\phi$ on which $\mathcal{O}$ doesn't depend needn't be integrated over in either the numerator or denominator. Similarly, we can "throw away" $W$ en su lugar cuando se calcula la media de una variable sobre la que no depende.

Answer 2

El árbol de nivel 4-fermión amplitud que usted consigue cuando usted colapso del propagador a un punto es una $J_\mu^+ J^{\mu ~-}$ contacto plazo, el 4-Fermi de la interacción de los años 30.

Con el advenimiento de la funcional de las integrales para el SM, se hizo más fácil entender la UV origen de esta baja energía eficaz de la teoría. La parte relevante de la acción de SM que contribuyen a esta cargada actual de aplicaciones es $$ {\cal L}_{fep}= m^2_W W_{\mu}^+ W^{\mu ~-}+ \frac{g}{\sqrt 2}( W_{\mu}^+ J^{\mu} +W^{\mu ~-} J_\mu^+) +O(p^2/M_W^2).\la etiqueta{1} $$ Desde el Ws no tienen derivados en esta parte de la acción, que son superfluas campos algebraicas ecuaciones de movimiento y pueden ser eliminados, por absoluta de realizar la integración funcional participación de ellos como variables, de la siguiente manera.

Completa el complejo la plaza, $$ {\cal L}_{fep} = m^2_W \left (W_{\mu}^+ +\frac{g}{\sqrt {2} m_W^2} J^{\mu~+}\right) \left(W_{\mu}^- +\frac{g}{\sqrt {2} m_W^2}J^{\mu~-} \right ) -\frac{g^2}{2m_W^2} J_{\mu}^{+} J^{\mu~-} . $$ Ahora observe el primer término representa un cambio en la definición de la Ws, es decir, pueden ser redefinidas para absorber las piezas actuales; integrado en el espacio-tiempo y se quedó en el exponente de la integral funcional, el primer término equivale a dos Gaussianas, al resolver en el original "nuevo", cambió W₁, W₂; integración funcional de estos Gaussianas w.r.t. el pasado Ws no deja ningún rastro de la Ws en este bajo de energía de parte de la ruta integral. Ellos se han "integrado", como por su pregunta.

El único utilizable residuo de su presencia, es la "constante" (en la medida en W grados de libertad) en segundo término, la corriente actual de la interacción, $-\frac{2G_F}{\sqrt 2} J_{\mu}^{+} J^{\mu~-} $, donde se define $G_F\sqrt 2 \equiv g^2/4m_w^2=2/v^2$. Nota usted obtendrá la misma respuesta de lo meramente algebraica de las ecuaciones de movimiento de ${\cal L}_{eff}$, es decir,$W_\mu^{\pm}=-g J_\mu^{\pm}/\sqrt{2} m_w^2$; el uso de estos para eliminar la Ws resultado sería el mismo actual de corriente residual de la interacción.

(Por cierto, en 1933, se trataba esencialmente de la primera aplicación de QFT: su eje de la característica de la creación y la aniquilación de fermión especies.)

Una muy análogo procedimiento, naturalmente, se obtiene para el neutro amplitudes de corriente que implican Z de cambio.

Answer 3

De forma heurística, hay dos maneras.

1. En la electrodébil de Lagrange, sustituto de la W por su solución clásica. Que es, se encuentra el de Euler-Lagrange ecuación para W, para resolver, y el enchufe de la solución en el Lagrangiano. De este modo, la W campos están "integrados".

2. Cuando un interno de la línea del bosón W está presente en un diagrama de Feynman, que lo borre. Por ejemplo, el árbol diagrama de nivel de dispersión de electrones con neutrino implica una W propagador. Borrado de él, usted consigue cuatro puntos de vértice de fermiones. En términos de Lagrange, usted tiene un operador de cuatro spinors, que es una dimensión de 6 operador. El numéricos prefactor de que puede ser fijado por la coincidencia de la dispersión de la amplitud.