¿Existen realmente el infinito y el cero?

Question

Desde el primer día que entré en la universidad, me pregunté por la relación entre algunos conceptos matemáticos abstractos básicos y la naturaleza. Voy a explicarlos aquí y puede que os parezcan un poco de opinión, pero no lo es. Así que, por favor, guíame en caso de que tengas buenas respuestas/ejemplos con base científica.

Infinito : ¿Existe el infinito en la realidad? Todos sabemos que es un concepto abstracto, pero lo que tengo curiosidad por saber es si hay algún fenómeno físico por ahí que pueda mostrar, estimular o ayudarnos de alguna manera a entender el concepto de infinito en la realidad/naturaleza/mundo físico.

Cero : ¿Qué pasa con La paradoja de Zenón ? En la naturaleza (nuestro mundo físico) existe un " la menor distancia ". Se trata de $1.6 \times 10^{-35}$ metros . Otro ejemplo sería cuando alguien dice "hay tres manzanas en el escritorio, si las tomas todas hay $0$ manzanas en el escritorio". Obviamente, es un concepto abstracto, pero lo que me gustaría saber es que si hay algún evento físico observable que nos pueda mostrar de alguna manera el concepto de la nada o del cero absoluto. Por ejemplo, no tenemos el cero absoluto de temperatura en termodinámica, el cero absoluto de distancia entre 2 puntos en mecánica, o el cero absoluto de gravedad en un espacio determinado, etc.

_Axioma del conjunto vacío_ : Este axioma establece:

"Existe un conjunto tal que ningún elemento es miembro de él".

Uno puede imaginarse un conjunto vacío en la naturaleza como una caja absolutamente vacía. Pero uno puede verlo al revés: el elemento "nada" está ahí (citando a El profesor Lawrence Krauss libro "nada es algo"). Así, de la misma manera se puede decir que el elemento "nada" es un miembro de un conjunto. Obviamente, es un concepto abstracto y esto puede parecer un juego de palabras, pero también es una paradoja interesante.

$\mathbb R$ ¡?! (el conjunto de los números reales) : Hay millones de teoremas matemáticos que se basan en $\mathbb R$ ¡! Me pregunto si existen fenómenos físicos no contabilizables en el mundo real/naturaleza.

De nuevo, sé que estos conceptos matemáticos son sólo abstracciones y nos ayudan a resolver problemas del mundo real. Sin embargo, me interesa más la relación entre estos conceptos abstractos y nuestro mundo físico/naturaleza.

Answer 1

Alegación: Al menos uno de $0$ , $\infty$ existe.

Prueba: Si $\infty$ existe, hemos terminado. Si no, el número de instancias de $\infty$ es $0$ .

La verdad es que lo digo un poco en serio. Se trata de una adaptación de la prueba ontológica de cierto filósofo (desgraciadamente no recuerdo quién) sobre la existencia del conjunto vacío, que es en sí misma un riff extraordinariamente perspicaz e ingenioso sobre El argumento ontológico de San Anselmo para la existencia de Dios. Curiosamente, mientras que tanto los teístas como los ateos tienden a encontrar el argumento de San Anselmo intrigante pero no convincente (creo recordar que el documento de Anselmo comienza pidiendo disculpas -a Dios- por hacer el argumento), cuando lo inviertes para demostrar la existencia de la nada, ¡parece bastante convincente!

Answer 2

Creo que tus preguntas y luchas con estos difíciles conceptos son completamente comprensibles, pero tu presentación es terrible. Eres innecesariamente conflictivo y agresivo. Tener dificultades con estos conceptos está completamente bien. Asumir que durante cientos de años los matemáticos conspiraron para construir un mundo inventado te convierte en un chiflado. De ahí la serie de votos negativos. Creo que lo primero que deberías hacer es aprender a ser humilde y presentar tus ideas con respeto. No asumir que sólo porque algo no tiene sentido a usted no tiene necesariamente sentido.

Así que, dejando a un lado mi malestar inicial por tu actitud, permíteme intentar decir unas palabras para resolver tus problemas.

1) infinito --- Esto es realmente algo difícil de entender y hay matemáticos crecidos que defienden puntos de vista similares. Pero son un poco más sofisticados y mucho menos arrogantes. En cuanto a la menor distancia Ya se ha señalado que eso sería una afirmación en física y no en matemáticas. Por otro lado, si crees en la división de enteros por enteros, debes darte cuenta de que hay infinitos números entre dos números cualesquiera o infinitos puntos entre dos puntos cualesquiera, basta con dividir la distancia por $n$ donde $n$ recorre $\{1,2,3,\dots\}$ . Pero, por supuesto, se podría intentar argumentar que no tiene sentido hablar de números arbitrariamente grandes como $2^{2011}$ ya que no tienen ninguna aplicación práctica. No puedo decir nada al respecto.

2) cero --- Siempre he pensado que quien primero inventó el cero y el conjunto vacío tuvo que ser un genio. En efecto, se trata de conceptos difíciles. Sin embargo, estás confundiendo algunas cosas aquí. Usted dice

... "nada" es un miembro de un conjunto... así que no hay ningún conjunto de tamaño "cero". Siempre hay un elemento "nada" o "nulo". ¿Estoy en lo cierto?

No, no tienes razón. En primer lugar, ¿qué quieres decir con "nada"? El único significado matemático sensato de eso es el conjunto vacío . Por lo tanto, estás hablando de un conjunto que consta de un solo elemento, que es el conjunto vacío. Eso es diferente del conjunto vacío que no tiene ningún elemento.

Usted también dice

¿Quieres decirme que "hay 3 manzanas en el escritorio, si las tomas todas hay 0 manzanas en el escritorio? "¿Sigo sin ver el número "0"?

Sí, tú tienen razón ¡! Hay $0$ manzana en el escritorio y no ves el número $0$ . Hay muchas otras cosas que no se ven. Por ejemplo, no se ve la cara oscura de la luna, pero no dudas de que está ahí. No ves el Sol por la noche, pero sabes que existe incluso de noche.

¿Y los números negativos? ¿Tampoco existen? ¿Así que cuando pides un préstamo y le debes al banco un montón de dinero, no es real? Si aceptas los números negativos, tienes que aceptar cero también.

3) conjuntos incontables --- Supongo que esto es una versión más sofisticada de su problema con infinito . Entonces, ¿podemos aceptar la existencia de números naturales (no nulos ;)? Digamos que $1,2,3,\dots$ ? Si es así, entonces es fácil mostrarle un conjunto incontable: tome el conjunto que consiste en todos los subconjuntos de $\{1,2,3,\dots\}$ .

Answer 3

No son las matemáticas sino la física las que se basan en estas "mentiras". En matemáticas, suponemos (si somos platonistas) que objetos como los números reales "existen realmente", sólo que no en el mundo físico, y entonces todo tiene sentido. Algunas personas pretenden que cuando hacen matemáticas, sólo están combinando axiomas y reglas de derivación para demostrar teoremas; estas personas tienen que tomar como artículo de fe el hecho de que su sistema de axiomas elegido (por ejemplo, ZFC) es consistente, de lo contrario todo su trabajo no tiene sentido.

Cuando las matemáticas se aplican al mundo real, por ejemplo en la física, a menudo se hacen algunas aproximaciones, como el hecho de que (al menos en la física clásica) un sistema de coordenadas cartesianas describe el espacio, y la línea real describe el tiempo. Estas aproximaciones pueden explicarse matemáticamente: tener en cuenta la discreción en general sólo altera ligeramente los resultados; pero lo complica todo mucho.

Algunas matemáticas no son así, por ejemplo, cuando se hace una encuesta, los estadísticos calculan la desviación estándar, lo cual tiene sentido incluso si no se cree en los números reales; son sólo una construcción teórica introducida para comprender fenómenos discretos. En definitiva, todo se reduce a un razonamiento finitista, cuya validez, sin embargo, descansa en alguna creencia infundada en la consistencia de algún sistema de axiomas.

Por último, pero no menos importante, ¿por qué te opones al cero? Si coges una regla y marcas una clavija cada centímetro, entonces te preguntas "¿cuántas clavijas necesito para saltar de 2 a 3 pulgadas"? La respuesta es $1$ . Entonces, "¿cuántas clavijas necesito para saltar de 2in a 2in"? La respuesta es cero. Puedes entender los números negativos de esta manera.

Además, cero manzanas es el número de manzanas que quedan después de haberlas comido todas. Y hay muchos más ejemplos, de hecho se escribió un libro entero sobre el tema.

Answer 4

Parece que tu premisa para que las matemáticas sean una "mentira" es que su trasfondo teórico no puede aplicarse completamente al mundo real (por ejemplo, tener la menor distancia en el mundo real, pero no en las matemáticas). Si así es como defines una mentira, claro, pero las matemáticas son una ciencia abstracta y no estoy seguro de por qué crees que se supone que tienen ciertas propiedades que son verdaderas en el mundo real - la abstracción es en realidad todo el punto.

Se han ofrecido soluciones a la paradoja de Zenón, no estoy seguro de lo que quieres decir con "pero yo no hablo de soluciones". Digo que "esto es LÓGICO". Pero no es VERDAD". De hecho, la paradoja de Zenón muestra la mentira del mundo real, ya que Zenón impugnó que el movimiento no existe y es una ilusión.

"¿Quieres decirme que "hay 3 manzanas en el escritorio, si las tomas todas hay 0 manzanas en el escritorio? "¿Sigo sin ver el número "0"? -- Es cierto, pero tampoco ves el número 3 cuando hay 3 manzanas en el escritorio, ¿correcto? El 0 se utiliza para denotar la falta de objetos, y su definición es un poco más complicada que la de otros números enteros, y por una razón (se puede utilizar de manera diferente en diferentes ramas de las matemáticas). Además, si quieres una definición de cero en la vida real, piensa en no moverte, no ganar peso, no progresar todo esto puede verse esencialmente como una suma de cero.

Un conjunto vacío es un conjunto (que, de nuevo, es un concepto abstracto) que no tiene elementos. Cuidado con las palabras: no es que tenga "nada" como elemento, sino que no tiene ningún elemento. Aquí se trata de la semántica de la definición, pero una vez más pareces hacer un paralelismo con la vida real y tratar de encontrar una entidad correspondiente. No veo muy bien por qué ese es el enfoque: estamos hablando de matemáticas, no de física.

Con respecto al conjunto de números reales, de nuevo, la misma historia. No sé si se puede encontrar un conjunto incontable en el "mundo real" (aunque supongo que se podría rebatir que el conjunto de puntos de cualquier objeto es incontablemente infinito, porque a medida que se va ampliando se van obteniendo más y más partículas, y son nuestras limitaciones las que no nos permiten ver más allá de los átomos). Pero esa no es la cuestión. Las matemáticas se basan en algunas ideas abstractas, y es cierto que no todas ellas se reflejan necesariamente en la naturaleza. Sin embargo, eso no hace que las matemáticas se basen en "mentiras".

Answer 5

Para concolar todas sus respuestas:

1. Las matemáticas son diferentes de la física. No podemos compararlas completamente entre sí. Las matemáticas son una ciencia abstracta, mientras que la física es una ciencia natural. Por lo tanto, son tipos diferentes.

2. Debemos elegir un sistema axiomático antes de hablar de un teorema. ( como ZFC ).

3. Los conceptos abstractos forman parte de las matemáticas, no de la física. Podemos imaginar que existe un número mayor que cualquier número. ¡Ese número es el Infinito ! ... Todavía no sé si existe en la física o no. Por ejemplo "¿el mundo es infinito o no?"... "¿Hay un nuevo mundo dentro de un agujero negro o no!" ... Pero en matemáticas, podemos imaginarlo. Así que el cero y otras abstracciones.

Todavía me gustaría escuchar más respuestas y comparaciones con la naturaleza.