¿Existe una prueba rigurosa de que los fotones no adquieren masa por renormalización?

Question

La prueba estándar de que los fotones no se hacen masivos en 4d QED es calcular el propagador del fotón y comprobar que tiene un polo en el momento $q^2=0$ .

El propagador se obtiene sumando diagramas de bucles del tipo:

Pero esto no considera diagramas más complicados como:

¿Hay alguna forma de incluir todos los diagramas posibles? ¿Puede ampliarse la prueba para incluir el resto del sector EW y QCD?

La identidad de Ward se menciona a menudo como prueba de fotones sin masa, pero parece que sólo indica fotones transversales.

Answer 1

Hay una prueba en las notas de clase 12 de Teoría cuántica relativista de campos II del OCW del MIT basado en el método funcional. Aquí esbozaré la prueba. El propagador exacto del fotón es $$\mathcal{G}(x)_{\mu\nu} = \langle \Omega | T A_{\mu}(x)A_{\nu}(0)| \Omega \rangle_C.$$ Puede representarse mediante el siguiente diagrama Definamos $i\Pi^{\mu\nu}$ para ser la suma de todas las inserciones irreductibles de 1 partícula en el propagador del fotón. Así pues, tenemos $$\mathcal{G}(k) = G_{\rm F}(k) + G_{\rm F}(k)(i\Pi(k))G_{\rm F}(k) + \cdots = G_{\rm F}(k) \frac{1}{1-i\Pi(k)G_{\rm F}(k)}.$$ $G_{\rm F}(p)_{\mu\nu}$ es el propagador libre del fotón y por tanto tenemos $$iG_{\rm F}(p)_{\mu\nu} = \frac{\eta_{\mu\nu}}{k^2-i\epsilon} - (1-\xi)\frac{k_{\mu}k_{\nu}}{(k^2-i\epsilon)^2} = \frac{1}{k^2-i\epsilon}(P^T_{\mu\nu} + \xi P^L_{\mu\nu}),$$ donde $$P^T_{\mu\nu} \equiv \eta_{\mu\nu} - \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2}, \quad P^L_{\mu\nu} \equiv \frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2}.$$ ( $\xi = 1$ es la llamada galga de Feynman)

Es fácil deducir que $$(iG_{\rm F})^{-1}_{\mu\nu} = k^2 (P^T_{\mu\nu} + \frac{1}{\xi} P^L_{\mu\nu}).$$ También podemos descomponer $i\Pi^{\mu\nu}$ como $$\Pi^{\mu\nu} = P_T^{\mu\nu}f_T(k^2) + P_L^{\mu\nu}f_L(k^2) = \eta^{\mu\nu}f_T + \frac{k^{\mu}k^{\nu}}{k^2}(f_L-f_T)$$ Por lo tanto, $$(i\mathcal{G})^{-1}_{\mu\nu} = (k^2-f_T(k^2))P^T_{\mu\nu} + (\frac{k^2}{\xi}-f_L(k^2)) P^L_{\mu\nu},$$ $$\mathcal{G}(k)_{\mu\nu} = \frac{-i}{k^2-f_T(k^2)}P^T_{\mu\nu} + \frac{-i}{\frac{k^2}{\xi}-f_L(k^2)} P^L_{\mu\nu}.$$ Si $f_{T,L}(k^2 = 0) \neq 0$ se generará una masa para el fotón. Dado que $\Pi(k)$ proviene de diagramas 1PI, no debería ser singular en $k^2 =0 $ y así $f_L - f_T = O(k^2)$ como $k \to 0$ .

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Definimos la función generadora $E[J,\eta,\overline{\eta}]$ para diagramas conectados en QED por $$Z[J,\eta,\overline{\eta}] = e^{-iE[J,\eta,\overline{\eta}]}$$ Así que.., $$\mathcal{G}(x-y)_{\mu\nu} = i \frac{\delta^2 E[J,\eta,\overline{\eta}]}{\delta J^{\mu}(x) \delta J^{\nu}(y)}\bigg|_{J,\eta,\overline{\eta}=0}$$ Para transformaciones gauge infinitesimales, tenemos $\delta A_{\mu} = \partial_{\mu} \lambda $ , $\delta \Psi = ie_0\lambda\Psi$ y $\delta \overline{\Psi} = -ie_0 \lambda \overline{\Psi}$ . Bajo un cambio de variables en la integral de trayectoria, $Z[J,\eta,\overline{\eta}]$ seguirá siendo el mismo. Recordemos que $$Z[J,\eta,\overline{\eta}] = \int \mathcal{D}A \mathcal{D}\overline{\Psi} \mathcal{D}\Psi e^{i\int d^4x [\mathcal{L} + JA + \overline{\eta}\Psi + \overline{\Psi}\eta]} $$ donde $$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \overline{\Psi} (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m_0) \Psi + e_0j^{\mu} A_{\mu} - \frac{1}{2\xi}(\partial_{\mu}A^{\mu})^2$$

El cambio de acción es $$\delta S = -\frac{1}{\xi} \int d^4x \partial_{\mu} A^{\mu} \partial^2 \lambda + \int d^4x J^{\mu}\partial_{\mu}\lambda + ie_0\overline{\eta}\Psi\lambda - ie_0\overline{\Psi}\eta\lambda$$

Por lo tanto, debemos tener $$\int d^4x \lambda(x) \int \mathcal{D}A \mathcal{D}\overline{\Psi} \mathcal{D}\Psi e^{iS} \left[ -\frac{1}{\xi} \partial^2 \partial_{\mu} A^{\mu} - \partial_{\mu}J^{\mu} + ie_0(\overline{\eta}\Psi - \overline{\Psi}\eta)\right] = 0 $$ Desde $$\langle A_{\mu}(x) \rangle_{J,\eta,\overline{\eta}} = - \frac{\delta E}{\delta J^{\mu}} \quad \langle \Psi(x) \rangle_{J,\eta,\overline{\eta}} = - \frac{\delta E}{\delta \overline{\eta}} \quad \langle \overline{\Psi}(x) \rangle_{J,\eta,\overline{\eta}} = \frac{\delta E}{\delta \eta}$$ La ecuación anterior puede escribirse como $$\frac{1}{\xi} \partial^2 \partial^{\mu}\frac{\delta E}{\delta J^{\mu}} - \partial_{\mu}J^{\mu} - ie_0\left[ \overline{\eta}\frac{\delta E}{\delta \overline{\eta}} + \frac{\delta E}{\delta \eta} \eta \right]=0$$ Por diferenciación con $\delta J$ en $J,\eta,\overline{\eta} = 0$ podemos obtener $$\frac{1}{\xi} \partial^2 \partial^{\mu} \frac{\delta^2 E[J,\eta,\overline{\eta}]}{\delta J^{\mu}(x) \delta J^{\nu}(y)}\bigg|_{J,\eta,\overline{\eta}=0} - \partial_{\nu} \delta(x-y) = 0$$ es decir, $$\frac{i}{\xi}\partial^2 \partial^{\mu} \mathcal{G}(x-y)_{\mu\nu}+ \partial_{\nu} \delta(x-y) = 0 $$ o, escrito en el espacio del momento, $$-\frac{i}{\xi}k^2 k^{\mu} \mathcal{G}(k)_{\mu\nu}+ k_{\nu} = 0$$ Así que $$- \frac{k^2}{k^2-\xi f_L(k^2)} k_{\nu} + k_{\nu} = 0$$ Lo que significa $f_L(k^2) =0$ y así, tenemos $f_T(k^2) \to O(k^2)$ como $k^2 \to 0$ . El propagador exacto del fotón es $$\mathcal{G}(k)_{\mu\nu} = \frac{-i}{k^2(1-\pi(k^2))}P^T_{\mu\nu} + \frac{-i\xi}{k^2} P^L_{\mu\nu}$$ donde $\pi(k^2) \equiv \frac{f_T(k^2)}{k^2}$ . El propagador exacto tiene un polo en $k^2=0$ por lo que el fotón permanece sin masa después de la corrección cuántica.

La discusión relativa a las correcciones QCD está más allá de mis conocimientos y espero una respuesta mejor.

Answer 2

Si no incluyera todos los diagramas en un orden determinado $\alpha^n$ de la expansión perturbativa, tu resultado no sería invariante gauge, lo cual es malo. Peor aún, tendrías una dependencia residual del corte regularizador, o $\mu$ en la regularización dimensional, en el orden $\alpha^n$ que es igual de malo. Si incluye todos los diagramas en orden $\alpha^n$ entonces el resultado es invariante gauge y la $\mu$ es proporcional a $\alpha^{n+1}$ .

Así que, básicamente, lo que quiero decir es que el cálculo no tendría sentido si no se incluyeran todos los diagramas en cada orden de la expansión perturbativa.