Discusión variacional con medidas de probabilidad

Question

Deje $\mathscr M(\mathbb Z^d)$ denota el conjunto de medidas de probabilidad en $\mathbb Z^d$

Deje $\mu \in \mathscr M(\mathbb Z^{d+1}), $. Deje $\mu_d $ ser la distribución marginal $\sum_{z\in \mathbb Z}\mu(x,z)$$x\in \mathbb Z^d$$\mu_1=\sum_{x\in \mathbb Z^d}\mu(x,z)$$z\in \mathbb Z$.

Deje $f_d$ ser alguna función que toma medidas que el índice indica la dimensión de la medida.

Supongamos que tenemos $$f_{d+1}(\mu) \ge \sum_{x\in \mathbb Z^d} \mu_d(x)f_1(\frac {\mu(x,.)}{\mu_d(x)})+\sum_{z\in \mathbb Z} \mu_1(z)f_d(\frac {\mu(.,z)}{\mu_1(z)})$$

Mi pregunta es: ¿cómo puedo concluir de allí que

$$\inf_{\nu\en \mathscr M^{d+1}} f_{d+1}(\nu)\ge \inf_{\nu\en\mathscr M^1} f_1(\nu) +\inf_{\nu \en \mathscr M^d} f_d(\nu)$$

El libro que estoy leyendo dice "que varía con el $\mu$" pero yo no sé lo que quieren decir con esto.

Parece razonable como $\mu_d(x)$ registrado durante todos los $x$ es igual a 1 y por lo tanto queremos minimizar la primera coordenada en la primera suma y viceversa, en el segundo, pero ¿cuál sería la prueba formal?

Answer 1

Creo que está en el camino correcto.

Mira el primer término en el lado derecho de la primera desigualdad (la condición en $f$). Simplemente nota que cualquier particular $\phi\in M_1$, tenemos $f(\phi)\ge\inf_{\nu\in M_1}f(\nu)$, pero también nota que cada $x$, $\mu(x,\cdot)/\mu_d(x)$ es solo un $\phi\in M_1$, por lo tanto, es no menor que $\inf_{\nu\in M_1} f(\nu)$. Así que el primer término satisface $$\sum_{x\in \Bbb Z^d}\mu_d(x)\color{red}{f(\frac{\mu(x,\cdot)}{\mu_d(x)})}\ge\sum_{x\in \Bbb Z^d}\mu_d(x)\color{red}{\inf_{\nu\in M_1}f(\nu)}=(\sum_{x\in \Bbb Z^d}\mu_d(x))\cdot\color{red}{\inf_{\nu\in M_1}f(\nu)}=1\cdot\color{red}{\inf_{\nu\in M_1}f(\nu)}$ $ y para el segundo término es similar.