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¿Cuánto tiempo tarda para una plaza cubren de gotas de lluvia?

Considere la posibilidad de un cuadrado dividido en $n \times n$ cuadrícula. Cada gota de lluvia cae desde el cielo y cubre un $r \times r$ cuadrícula elegido uniformemente al azar dentro de la plaza. ¿Cuál es el número esperado de las gotas de lluvia necesaria para cubrir la totalidad de la plaza?

Para evitar las condiciones de contorno, podemos asumir que la plaza es en realidad un toro. En otras palabras, la parte superior y la parte inferior de la plaza se juntan, mientras que el lado izquierdo y el lado derecho de la plazas son guled juntos.

Si $r=1$, entonces este es el clásico cupón colector problema. También le da una cota superior de a $n^2 \log(n^2)$ a esta gota de lluvia modelo. Me pregunto si este modelo ya ha sido estudiado? Parece ser una extensión natural de cupón de coleccionista.

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heropup Puntos 29437

Corrí $N = 10^5$ simulaciones para el caso $r = 2$, $n = 8$, y el resultado se ajuste muy bien a la inversa distribución gamma con parámetros a $(a, b) = (14.6313, 987.144)$, donde he utilizado la parametrización $$f_X(x) = \frac{e^{-b/x} \left(b/x\right)^a}{x \Gamma (a)}, \quad x > 0.$$ This would give a mean and variance of $\mu = 72.4176$, $\sigma^2 = 415.185$.

Por supuesto, no debemos esperar que esto sea el mismo que $r = 1$, $n = 4$, que es el clásico cupón colector del problema.

Una simulación con $r = 3$, $n = 8$ da otra buena inversa gamma ajuste, con $(a,b) = (12.1359, 329.206)$.

Tal vez alguien puede encontrar alguna relación entre el$r, n$$a, b$, pero creo que la distribución de la cantidad de gotas que se necesita es bien modelada como inversa gamma, aunque no tengo ninguna base teórica.

Tengo curiosidad, ¿qué sucedería en el caso continuo, con $\rho = r/n = 1/4$ pero $n \to \infty$. Mi intuición me dice que en el asintótica caso, la esperanza y la varianza de aumento.

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