Un ejemplo de una cubierta universal similar por 5 puntos.

Question

Digamos que $A\subset\mathbb{R}^2$ es una cubierta universal similar para $n$ puntos si:

1. $A$ está cerrado.
2. El interior de $A$ está vacía.
3. Para todo conjunto finito $B\subset\mathbb{R}^2$ que contiene exactamente $n$ puntos hay un conjunto $A'\subset\mathbb{R}^2$ que es similar a $A$ tal que $B\subset A'$ .

Dejemos que $S_n=\{A\subset\mathbb{R}^2|A$ es una cubierta universal similar para $n$ puntos $\}$ .

Ejemplos

1. Cualquier segmento de línea es un elemento de $S_2$ .
2. Una letra "T" es un elemento de $S_3$ .
3. Una circunferencia con un radio es un elemento de $S_4$ Si los cuatro puntos son colineales, puedes ponerlos en el radio. Si no lo son, entonces puedes formar una circunferencia con tres de ellos de manera que el cuarto esté dentro del círculo. Entonces puedes girar el radio hasta cubrir ese último punto.

¿Puede encontrar un ejemplo de un elemento de $S_5$ ?

Answer 1

No estoy seguro de lo que sucede con su definición, pero aquí hay una respuesta cuando modificamos (2) a

(2') $A$ tiene dimensión Hausdorff $\le 1$ (por ejemplo $A$ es una unión contable de curvas suaves).

Estos conjuntos $A$ tienen el interior vacío, pero lo contrario es falso.

Utilizaré la notación $S_n'$ para el conjunto de los correspondientes $n$ -subconjuntos universales de $R^2$ (por cierto, no hay que usar el nombre de "cubierta universal" para esto, ya está cogido).

Aquí hay una prueba de que $S_n'=\emptyset$ para $n\ge 5$ .

Considere la $n$ -producto doblado $A^n$ de $A\subset R^2$ satisfactorio (2'); $A^n\subset R^{2n}$ . El grupo $G$ de similitudes del plano euclidiano es un Grupo de Lie de dimensión $4$ . El grupo $G$ actúa suavemente sobre $R^2$ y obtenemos la correspondiente acción diagonal de $G$ en $R^{2n}$ : $g(z_1,...,z_n)=(gz_1,...,gz_n)$ , donde $z_k\in R^2$ para cada $k$ . En otras palabras, tenemos el mapa suave $\mu: G\times R^{2n}\to R^{2n}$ , $$ \mu(g, z_1,...,z_n)= (gz_1,...,gz_n). $$ La afirmación de que $A$ satisface su condición de universalidad es equivalente a la propiedad de que $\mu(G\times A^n)=R^{2n}$ . Sin embargo, $\mu$ es localmente Lipschitz (ya que es suave) $G$ tiene dimensión Hausdorff $4$ , $A^n$ tiene dimensión Hausdorff $\le n$ Por lo tanto, $\mu(G\times A^n)$ tiene dimensión Hausdorff $\le 4+n$ . Para $n\ge 5$ , $4+n< 2n$ y $2n$ es la dimensión de Hausdorff de $R^{2n}$ . (Para $n=4$ tenemos la igualdad). Por lo tanto, $\mu(G\times A^n)$ no puede ser igual $R^{2n}$ . Así, $A$ no puede pertenecer a $S'_n$ .

El mismo argumento funciona si (2') se sustituye por

(2'') $A$ tiene dimensión Hausdorff $<2$ .

Dejo que $S_n''$ denotan la correspondiente colección de subconjuntos universales de $R^2$ .

Entonces el resultado es que $$ \bigcap_{n\ge 1} S_n'' =\emptyset. $$

No sé qué ocurre con su definición original de $S_n$ . Se puede intentar sustituir la dimensión de Hausdorff por la dimensión topológica. Entonces $int(A)=\emptyset$ significa que $dim(A)\le 1$ Por lo tanto $dim(A^n)\le n$ . Sin embargo, hay ejemplos de mapas suaves que elevan la dimensión topológica. Por ejemplo, se puede tomar una curva topológica $P\subset {\mathbb R}^3$ (la gráfica de una curva de Peano), tal que para la acción $\mu$ de ${\mathbb R}$ en ${\mathbb R}^3$ mediante traducciones a lo largo del $x$ -eje, $\mu({\mathbb R}\times P)$ es tridimensional, igual al producto del cuadrado unitario por la recta real.

Editar. El hecho de que $$ \bigcap_{n\in {\mathbb N}} S_n \ne \emptyset $$ se demuestra en el Teorema 1.12 en

C. G. Wastun, Universal covers of finite sets. J. Geom. 32 (1988), no. 1-2, 192-201.

De hecho, demuestra aún más: Existe un subconjunto cerrado $A$ con el interior vacío en $E^2$ tal que para cada subconjunto finito $F\subset E^2$ existe una traslación horizontal $T$ de $E^2$ tal que $T(F)\subset A$ . Sus conjuntos $A$ son productos de ciertos subconjuntos cerrados, perfectos y totalmente desconectados del eje x con el eje y.

Answer 2

Creo que he encontrado un ejemplo, pero tengo curiosidad porque creo que tiene dimensión Hausdorf <2.

Dejemos que $C\subset[0,1]$ como el conjunto de Cantor que se obtiene eliminando los intervalos abiertos formados por números cuya expansión de base 16 no tiene el "dígito" 15. Los extremos de estos intervalos, como $0.(15)000\dots=0.(14)(15)(15)(15)\dots$ seguir $C$ . Ahora defina $B=\bigcup_{i=0}^4(i+C)$ para que $B\times B\subset[0,5]\times[0,5]$ . $B\times B$ está cerrado y tiene el interior vacío.

Voy a mostrar que $B\times B$ está en $S_5$ : Dejemos que $A=\{z_1,z_2,z_3,z_4,z_5\}\subset\mathbb{R}^2$ . Sea $Q$ sea una transformación de similitud tal que $Q(A)\subset[0,5]\times[0,5]$ . Ahora muestro que hay una traducción $L$ tal que $L(Q(A))\subset B\times B$ .

Dejemos que $p_1(x,y)=x$ y $x_j=p_1(Qz_j)$ y asumir, sin pérdida de generalidad, que $x_1<x_2<x_3<x<4<x_5$ . Ahora, defina $d_i=x_{i+1}-x_i$ para $i=1,\dots,4$ . Ahora muestro que podemos realizar estas cuatro distancias en $B$ :

Dejemos que $d_i-[d_i]=0.d_{i1}d_{i2}\dots$ en base 16, donde $[\cdot]$ representa la función del suelo. Para demostrar que podemos realizar las cuatro distancias en $B$ sólo tenemos que demostrar que podemos construir un número $p=0.p_1p_2\dots$ (en base 16) de manera que para cada $j$ ninguno de los números

$p_j$ ,

$p_j+d_{1j},p_j+d_{1j}+1$ ,

$p_j+d_{1j}+d_{2j},p_j+d_{1j}+d_{2j}+1,p_j+d_{1j}+d_{2j}+2,$

$\dots$ ,

$p_j+d_{1j}+\dots+d_{4j},p_j+d_{1j}+\dots+d_{4j}+1,\dots,p_j+d_{1j}+\dots+d_{4j}+4$ ,

es congruente con 15 mod 16. Observando que esta lista de números tiene como máximo 15 números distintos, podemos elegir $p_j$ para que ninguno de ellos sea congruente con 15 mod 16. De esta manera, podemos realizar las cuatro distancias en $B$ para que podamos traducir $Q(A)$ para que todas las proyecciones en el $x$ -El eje de sus elementos se encuentra en $B$ . De forma análoga, podemos hacer lo mismo para las proyecciones a la $y$ -eje, para que haya una traslación $L$ tal que $L(Q(A))\subset B\times B$ . Así que, $B\times B$ está en $S_5$ .

No es tan difícil ver que este proceso se puede generalizar para $n\leq6$ para que $S_n\neq\emptyset$ $\forall n\in\mathbb{N}$ .

Sin embargo, $B\times B$ tiene dimensión Hausdorff <1, por lo que $S'_5\neq\emptyset$ y por lo tanto $S''_5\neq\emptyset$ . Por favor, revisa esto, porque no encuentro el error en la prueba anterior ni en la mía.