¿Hay un operador inyectivo con una gama de un nonclosed denso-codimensional?

Question

Que $H$ ser un espacio de Hilbert separable dimensional infinito.

¿Hay un operador $A\in B\left( H\right) $ tal que $Im\left (A\right) \neq \overline{Im\left (A\right)} = H $, $ codim\left (Im % \left (A\right) \right) = 1$ y $\ker \left( A\right) =\left\{ 0\right\} $?

Answer 1

No existe un operador. De manera más general, continua y un operador en un espacio de Banach con finito dimensionales kernel y cokernel debe tener un sistema cerrado de imagen (por ejemplo los operadores se denominan Fredholm). Déjame probar esto para su caso específico. Deje $A \colon H \rightarrow H$ ser continua, inyectiva y $\dim H/\operatorname{Im}(A) = 1$. Elija $v \notin \operatorname{Im}(A)$ y tenga en cuenta que $\operatorname{Im}(A) + \operatorname{span} \{ v \} = H$. Considerar el mapa de $\tilde{A} \colon H \oplus \mathbb{C} \rightarrow H$ $\tilde{A}(h,z) = Ah + zv.$ Este mapa es uno-a-uno, a y continua por la asignación abierta teorema, se tiene un continuo inverso $\tilde{A}^{-1} \colon H \rightarrow H \oplus \mathbb{C}$. Por la definición de la suma directa externa, $H$ es un subespacio cerrado de $H \oplus \mathbb{C}$ y, a continuación, $\tilde{A}(H) = \operatorname{Im}(A)$ es cerrado. Esta prueba funciona verbatim si usted considera más generalmente un inyectiva lineal continua mapa de $A \colon B_1 \rightarrow B_2$ entre espacios de Banach con codimension uno cokernel.

Answer 2

Tome $V$ a que no sea un subespacio cerrado de $H$ con codimension $1$. Debido a la codimension, sabemos que existe una base (un infinito, Hamel) por $V$ que puede ser extendido en una base para $H$ mediante la adición de un único vector. Estas bases de $V$ $H$ tienen la misma cardinalidad. Así, debe existir una bijective lineal mapa de$H$$V$.

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Si te refieres a $\operatorname{codim}(\overline{\operatorname{Im}(A)}) = 1$, de hecho hay un operador. Tome $H = \ell^2$ y $$ [(X_n)] = \left(0,\frac {x_1}1,\frac{x_2}2,\frac{x_3}3,\dots\right) $$ La imagen de $A$ no es cerrada, sino que su cierre es $\{(x_n): x_1 = 0\}$.