Demostrar combinatoriamente que $ 10!=7!6! $ .
Por "demostrar combinatoriamente" me refiero a todo lo que no pasa por la computación $10!,7!,6! $ o algunos factores de ellos. Esto es claramente equivalente a encontrar una biyección (o demostrar que existe) entre $S_{10}$ y $ S_7 \times S_6 $ donde $S_n$ es el grupo simétrico de orden $n$ .
He aquí una prueba combinatoria:
Supongamos que tenemos diez personas y queremos encontrar cuántas formas de ordenarlas en línea recta. La respuesta es obviamente $10!$ Porque podemos elegir entre diez personas para el primer puesto, nueve para el segundo, y así sucesivamente.
Ahora consideremos la elección de un orden de una manera diferente. Pongamos $7$ personas en una línea, y luego insertar el resto de $3$ . Hay $7!$ formas de hacer el $7$ -persona línea, y luego hay $8\cdot9\cdot10$ formas de insertar a las tres últimas personas. Por lo tanto, el número total de formas es $$7!\cdot8\cdot9\cdot10$$ y $$10!=7!\cdot8\cdot9\cdot10$$ Ahora todo lo que tienes que hacer es demostrar que $\cdot8\cdot9\cdot10=6!$ . ¿Puedes hacerlo siguiendo mi ejemplo para la primera mitad del problema?
Esto básicamente dice $10 ! = 7! (8 \cdot 9 \cdot 10) $ y $(8 \cdot 9 \cdot 10) = 6!$ . Sólo la primera igualdad se "demuestra combinatoriamente",
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Una posible reducción sería observar $S_{10}$ es biyectiva con $K_{10,3} \times S_7$ donde $K_{10,3}$ es el conjunto de funciones uno a uno $[3] \to [10]$ (que es una codificación de la elección de 3 elementos distintos de $[10]$ con el orden de los 3 es significativo). Por lo tanto, bastaría con mostrar $K_{10,3}$ es biyectiva con $S_6$ .
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@Shaun he intentado usar la teoría de grupos y he obtenido el mismo resultado que Nilknarf, con la misma solución. Definiendo $ \phi(x) : S_{10} \rightarrow S_7 $ tal que $\phi$ toma $x \in S_{10} $ una permutación de números $(1,2,3...10) $ y manteniendo el mismo orden cancela los números $ 8,9,10$ ahora por el primer teorema del homomorfismo de grupo obtenemos $ \frac{S_{10}}{ker(\phi)} \sim S_{7} $ y está claro que $ |ker(\phi)|=8\cdot 9\cdot 10 $ que es el mismo resultado de abajo