¿Para qué sirve que una función sea sobreyectiva?

Question

Por lo que entiendo, una función $f\colon A \to B$ es suryente si y sólo si para cada $b\in B$ existe $a\in A$ tal que $f(a) = b$ .

Mi pregunta es ¿cuándo es esto realmente relevante? ¿No se podría definir arbitrariamente el conjunto $B$ para que cualquier elemento que nunca se "utilice" sea eliminado del conjunto, dejándole una función suryectiva?

Answer 1

Sí, podemos fijarnos arbitrariamente sólo en el rango de las funciones, pero esto a menudo no tiene sentido. Cuando estudiamos una función, $f: A \rightarrow B$ A menudo nos interesan las propiedades de $A$ y $B$ tanto como las propiedades de $f$ . Por lo tanto, si queremos aprender sobre $B$ y sabemos que podemos hacerlo de alguna manera utilizando la función suryectiva $f$ de $A$ a $B$ Sólo mirando el rango de $f$ significa que hemos dejado de mirar $B$ que es lo que queríamos aprender en primer lugar.

Edición: Como parece que estamos hablando de cosas muy básicas, aquí hay una propiedad muy básica. Digamos que queremos saber si $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad. ¿Cómo lo sabemos? Que existe una función biyectiva $f: A \rightarrow B$ . Si nos fijamos en la gama de $f$ en lugar del codominio, ya no estamos pensando en la cardinalidad de $B$ estamos pensando en otra cosa a la vez.

Answer 2

Las otras respuestas son buenas, pero me gustaría añadir una cosa. Supongamos que una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ está dada. ¿Es posible resolver la ecuación $f(x)=b$ para un determinado $b$ ?

Si sabemos que $f$ es subjetiva, entonces podemos estar seguros de que existe una solución para cualquier elección de $b$ . Si no es así, entonces tenemos que preocuparnos de si $b$ está en el rango de $f$ o no.

En el álgebra lineal, esto surge a menudo. El rango de una función lineal, dada por una matriz $A$ Así que $f(x)=Ax$ se denomina espacio de la columna de $A$ . A veces, el espacio de columnas es todo el codominio, y a veces es un subespacio. El hecho de que una función así sea suryectiva se convierte en una cuestión interesante, no sólo para resolver ecuaciones, sino para responder a otras preguntas sobre la estructura de la función.

Por ejemplo, si el dominio es $\mathbb{R}^4$ y el codominio es $\mathbb{R}^3$ . Entonces, ¿qué subconjunto del dominio resuelve la ecuación $f(x)=(0,0,0)$ ? Si sabemos que $f$ es suryente, entonces podemos responder que el conjunto que mapea a cero es un unidimensional subespacio. Si $f$ no es suryectiva, entonces el conjunto que mapea a cero tendrá una dimensión mayor.

Answer 3

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{Ratls}{\mathbf{Q}}$ Los problemas matemáticos suelen presentarse en forma de,

"Algún valor  $y$ depende de forma determinista de los datos  $x$ es todo valor prospectivo  $y$ un valor real?"

Dos formulaciones comunes son:

• Dejemos que $Y$  sea un conjunto de valores prospectivos (especificados de antemano por el contexto de una pregunta externa ), $X$  el conjunto de entradas permitidas, y $f:X \to Y$ una cartografía que representa la dependencia $y = f(x)$ .

  La pregunta anterior significa Es $f$  surjective ?

• Dejemos que $Y \subset Z$ sea un conjunto de valores prospectivos, $X$  el conjunto de entradas permitidas, y $f:X \to Z$ una cartografía que representa la dependencia $y = f(x)$ .

  La pregunta anterior significa Es $Y \subset f(X)$ ?

He aquí una selección de cinco ejemplos, cuatro de ellos más o menos iguales:

1. ¿Es todo número real el cuadrado de algún número real?

   Es decir, si $f:\Reals \to \Reals$ se define por $f(x) = x^{2}$ es $f$  ¿subjetivo? (Respuesta: No. Por ejemplo, $-1$  no está en la imagen).

2. ¿Es todo número real no negativo el cuadrado de algún número real?

   Es decir, si $f:\Reals \to \Reals$ se define por $f(x) = x^{2}$ es $[0,\infty)$ contenida en la imagen de  $f$ ? (Respuesta: Sí, aunque demostrar esta "existencia de raíces cuadradas reales" requiere un uso no trivial del axioma de completitud para los números reales, aunque el resultado se suele introducir en el plan de estudios muchos años antes de un curso de análisis cuidadoso).

3. ¿Es todo número racional positivo el cuadrado de algún número racional?

   Es decir, si $f:\Ratls \to \Ratls$ se define por $f(x) = x^{2}$ es $[0,\infty) \cap \Ratls$ contenida en la imagen de  $f$ ? (Respuesta: No. Por ejemplo, $2$  no está en la imagen).

4. Si $y:\Reals \to \Reals$ es una función continua, ¿existe una función diferenciable $x:\Reals \to \Reals$ tal que $x' = y$ ?

   Es decir, si $X$  es el conjunto de funciones diferenciables de valor real sobre  $\Reals$ y $Y$  es el espacio de las funciones continuas, y $Z$  el espacio de todas las funciones, y si $f(x) = x'$ es $Y$  contenida en la imagen de  $X$ ? (Sí: uno de los teoremas fundamentales del cálculo garantiza que toda función continua sobre  $\Reals$ es la derivada de alguna función diferenciable).

5. Dejemos que $(M, g_{0})$ sea una variedad compacta de Kähler. Si $\rho$  es un suave $(1, 1)$ -en la clase de cohomología $2\pi\, c_{1}(M)$ ¿existe una métrica de Kähler  $g$ cuya forma de Kähler es cohomóloga a la forma de Kähler de  $g_{0}$ y cuya forma de Ricci es  $\rho$ ?

   De forma análoga al ejemplo anterior, se puede imaginar que existe una ecuación diferencial parcial de la forma abstracta $\rho = f(g)$ y la cuestión equivale a la subjetividad del operador de curvatura de Ricci  $f$ . La respuesta resulta ser "sí"; en gran medida por esta resolución del Conjetura de Calabi , S. T. Yau fue galardonada con el Medalla Fields en 1982.

   La conclusión es que no sólo es interesante la subjetividad, sino que demostrar que un mapeo específico es surjetivo puede constituir una obra importante en una distinguida carrera matemática.

Answer 4

Para especificar completamente una función se necesitan tres cosas.

• Un dominio $X$ un conjunto de entradas permitidas
• Un codominio $Y$ un conjunto de salidas permitidas
• Una regla $f$ que, para cada $x\in X$ especifica algunos $f(x) \in Y$ .

Si no se incluyen los tres significa que no se ha definido correctamente una función. Para que una función sea onto, cada elemento $y\in Y$ debe tener algo de $x\in X$ para que $f(x) = y$ . Una función no es sólo una regla; son estos tres elementos.

Answer 5

La definición de una función no es sólo la regla $f$ . En cambio, una función está definida por un dominio $A$ y un codominio $B$ junto con una regla $f$ que toma cada $x\in A$ y devuelve un único elemento de $B$ . Entonces, si cambiamos el conjunto $B$ como sugieres, en realidad estamos cambiando la propia función, por lo que aunque la nueva función será efectivamente suryectiva, no será la misma función con la que se empezó.

Por ejemplo, $f(x)=x^2$ con $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ no es sobreyectiva, pero $f(x)=x^2$ con $f:\mathbb{R}\rightarrow [0,\infty) $ es sobreyectiva. La regla y el dominio son los mismos para ambas funciones, pero los codominios difieren, por lo que las dos funciones no son iguales.

En cuanto a por qué es importante el concepto de subjetividad, un ejemplo es que si una función es a la vez subjetiva e inyectiva (es decir, tanto 1-1 como onto), entonces la función se llama biyectiva, y demostrar que una función es biyectiva es una de las herramientas más comunes en el análisis. Por ejemplo, una forma de demostrar que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad es construir una biyección de un conjunto a otro. Otro ejemplo: una función es invertible si y sólo si es biyectiva.