Demostrar que algo es una variedad afín (elemental)

Question

Para demostrar que un conjunto dado es una variedad afín, primero quiero relacionarlo con un ideal. Si existe un ideal generado finitamente, ¿es eso suficiente para demostrar que algo es una variedad afín (por ejemplo, todo conjunto unitario)?

Además, ¿cómo se podría demostrar rigurosamente que para un campo finito k, todo subconjunto del espacio afín $A_k^n$ es una variedad afín V. Se podría decir simplemente que si es finita, entonces $k=\{a_1,...a_n\}$ ideal viene dado por $I(V)=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)$ o habría que demostrarlo. Una vez establecido, ¿es eso?

Answer 1

La idea es buena.

Si se quiere demostrar que un subconjunto $V$ de $A^n_k$ es una variedad afín, basta con demostrar que $V = V(I)$ para algún ideal $I$ de $k[X_1,\dots,X_n]$ . Obsérvese que la generación finita de $I$ que se obtiene de forma gratuita. (Como nota al margen, nótese que es $V = V(I)$ tienes que mostrar, no $I = I(V)$ ).

Para la segunda parte, parece que está mezclando el campo $k$ y el subconjunto $V$ de $A^n_k$ que quieres mostrar es afín.

En general, un subconjunto finito $V$ de $A^n_k$ es afín (independientemente de que $k$ es finito; pero, por supuesto, si $k$ es finito, todo subconjunto de $A^n_k$ es finito).

Para evitar un lío notacional, primero mostraremos esto para un subconjunto $V$ que consiste en un solo punto y luego argumentar que una unión finita de variedades afines es una variedad afín de nuevo.

Así, para $V = \{ (a_1,\dots,a_n) \}$ necesita encontrar un $I \subseteq k[X_1,\dots,X_n]$ tal que $V(I) = V$ . Lo ideal es $I = (X_1 - a_1, \dots, X_n - a_n)$ funciona.