Existen infinitamente muchos números que son sumas de números setenta primos y divide exactamente un número impar que sí mismo es una suma de setenta números primos.
¿Cómo uno va sobre probar esto?
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Dylan
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Queremos demostrar que existen infinitos números naturales $n$ tal que $n$ es la suma de $70$ de los números primos, y tal que $n$ divide un número impar, que es también una suma de $70$ números primos.
Como notado por los demás, sólo podemos tomar $n$ a ser la suma de $70$ prepara uno de los cuales es $2$ y el resto de ellos son impares, y luego porque trivialmente $n \mid n$, $n$ satisface las condiciones del problema.
Esto no es muy interesante, sin embargo. Resulta que el resultado es cierto si nos requieren específicamente que $n \mid m$ por un número impar $m \neq n$ tal que $m$ es la suma de $70$ de los números primos, y aun siendo cierto si se requiere que el $n$ divide infinitamente muchos de esos $m$.
De hecho, vamos a $M$ ser la suma de sus favoritos $69$ primos, uno de los cuales es $2$. (De modo que $M$ es un número par) vamos a buscar los números de $n$ tal que $n = M + p$ $n \mid M + q$ para algunos de los números primos $p$$q$. (Donde$p \neq q$, de modo que se excluye el caso de $n = m$)
Pero esto se hace fácil si hacemos uso del Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas. (Que puede ser un poco overpowered)
En efecto, considere la posibilidad de cualquier prime $p$ tal que $p$ no divide $M$. Luego por la del Teorema de Dirichlet, hay una infinidad de números primos $q$ tal que $q = k(M + p) - M$ para algunos entero $k$. Pero para cualquier prime $q$, claramente tenemos que $M + p \mid M + q$, y así hemos terminado.
Matthew Scouten
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Tal vez usted quiere que la "brecha" para ser adecuada, es decir, excluir los casos en que el primer número y el número que se divide el mismo. De hecho, vamos a $n$ ser cualquier entero positivo impar (puede ser la suma de $70$ primos si uno de los números primos es $2$ y los otros son impares). Afirmo que hay infinitamente muchos impar sumas de $70$ números primos que sean divisibles por $n$. Es decir, vamos a $m = \sum_{j=1}^{70} p_j$ donde $p_1 = 2$, el otro $p_j$ impares, números primos, y para $j = 2$ a $35$, $p_j \equiv 2 \mod n$ mientras que para $j = 36$ a $70$, $p_j \equiv -2 \mod n$. El teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas nos dice que hay una infinidad de opciones posibles para el $p_j$.
jgon
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Elija 69 números primos impares y 2. La suma será impar, $69\cdot 1 +0\equiv 1 \pmod{2}$, así que tenemos un número que es suma de setenta primos y divide exactamente un extraño número que sí mismo es una suma de setenta números primos (es decir, se divide exactamente). Puesto que podemos elegir un primer impar arbitrariamente grande, podemos encontrar estos números arbitrariamente grandes. Por lo tanto debe haber infinitamente muchos de ellos.
Justaskin_
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Existen infinitos números primos. Deje $p_i$ el valor del $i$'th prime (w.r.t. la costumbre de comprar en la $\mathbb N$). Deje $P = \{p_1, \cdots, p_{69}\}$ el valor de las primeras 69 números primos. $p_1 = 2$ y 68 son impares, por lo tanto $\sum P$ es incluso. Ahora para cualquier $i \ge 70$ considera $x_i = p_i + \sum P$. Ya que la suma de un número impar de números impares es de nuevo impar (y cada una de las $p_i$ es impar), tenemos que $x_i$ es impar. Obviamente, tenemos $x_i|x_i$, e $x_i$ es un número impar, que es la suma de setenta de los números primos, por lo $x_i$ cumple la condición que usted requiere. La función de $\mathbb N_{\ge 70} \to \mathbb N$ ha $i \mapsto x_i$ es inyectiva, por lo tanto, hay infinitamente muchos de estos números $x_i$.
