¿Cómo resolver este problema?

Question

Soy nuevo en el cálculo de variaciones, hasta ahora que sé cómo obtener el extremal funciones para un determinado funcional el uso de Euler-Lagrange ecuación.

¿Qué pasa si tengo un funcional pero no estoy buscando para minimizar o maximizar, pero en lugar de resolver ecuaciones que involucran funcionales, decir: $$I = \int_{x_{1}}^{x_2}{F(x,y,y') \,\mathrm{d}x}=\alpha\quad \,,\text{for }\alpha\in \mathbb{R}$$ Cómo solucionar para $y(x)$ que satisfacen esta ecuación? puedo transformar en un clásico problema a resolver es el uso de Euler-Lagrange ecuación?

EDITAR: por ejemplo, tenemos el siguiente problema : $$I = \int_{0}^{1}{\left(f(x)+2f'(x)\right) \, \mathrm{d}x}= 1/2$$

Agradezco cualquier idea,

Gracias

Answer 1

Se puede armar que esto tiene soluciones únicas para los muy particular $\alpha$ (por ejemplo,$F = (y-f)^2$, $\alpha = 0$ tiene solución única $y=f$), pero en general, usted debe esperar una gran familia de soluciones.

Intuitivamente esto es porque el espacio de funciones es mucho más grande que el espacio de posibles valores de la funcional $J(y)=\int F[y]$, lo $J$ no puede ser nada parecido a la inyectiva. Haciendo de este riguroso no es tan sencilla como la cardinalidad de argumento (desde, por ejemplo, $C^1([0,1])$ tiene la misma cardinalidad como $\mathbb R$), pero los requisitos razonables de la en $F$, $J$ un mapa diferenciable cuando restringida a un número finito-dimensional espacio de funciones. Adrs del teorema luego le dice que $J(y)=\alpha$ tiene varias soluciones o ninguna solución) para casi todas las $\alpha$, incluso entre un 2 parámetros de la familia de funciones de $y$.

Esto no debería ser demasiado sorprendente - la prescripción de que el valor de la funcional (un único número real) es mucho menos información que la prescripción de la derivada de la funcional (un elemento de algunos de dimensiones infinitas función del espacio).

Otra forma de decirlo: eres la prescripción de algún tipo de promedio de $y$, pero no el local de comportamiento.

Answer 2

Supongamos que tenemos un punto de partícula de masa $m$ que se mueve a lo largo de la $y$ eje. El Lagrangiano es la diferencia entre la cinética ($K$) y potencial ($U$) energías

$$\mathcal{L} (y, \dot y) := K - U = \frac{1}{2} m \dot y^2 - m g y$$

y la acción es la funcional

$$S (y) := \int_0^T \mathcal{L} (y, \dot y) \, \mathrm{d}t$$

De Euler-Lagrange ecuación nos da la ecuación diferencial de 2º orden $\ddot y = -g$. Sin embargo, supongamos que tenemos la igualdad de restricción

$$\int_0^T \mathcal{L} (y, \dot y) \, \mathrm{d}t = S_0$$

la cual puede escribirse en la forma

$$\frac{S_0}{T} = \left(\frac{1}{T} \int_0^T \frac{1}{2} m \dot y^2 \, \mathrm{d}t \right)- \left(\frac{1}{T} \int_0^T m g y \, \mathrm{d}t \right) = \langle K \rangle - \langle U \rangle$$

donde $\langle K \rangle$ $\langle U \rangle$ son el promedio de la cinética y la energía potencial, respectivamente. Por lo tanto, la igualdad de restricción que simplemente impone una restricción en el promedio de la cinética y energía potencial.