Deje $F(n)$ el valor del $n^{\text{th}}$ número Fibonacci$^{[1]}$$\!^{[2]}$$\!^{[3]}$. Los números de Fibonacci tienen una generalización natural a una analítica de la función de un argumento complejo: $$F(z)=\left(\phi^z - \cos(\pi z)\,\phi^{-z}\right)/\sqrt5,\quad\text{where}\,\phi=\left(1+\sqrt5\right)/2.\tag1$$ Esta definición se utiliza, por ejemplo, en Mathematica.$^{[4]}$ Produce valores reales de $z\in\mathbb R$, y conserva la costumbre funcional de la ecuación para los números de Fibonacci para todos $z\in\mathbb C$: $$F(z)=F(z-1) + F(z-2).\tag2$$
El fibonorial$^{[5]}$$\!^{[6]}$$\!^{[7]}$ es generalmente denotado como $n!_F$, pero aquí preferimos una notación diferente a $\mathfrak F(n)$. Se define por entero no negativo, $n$ inductivamente como $$\mathfrak F(0)=1,\quad \mathfrak F(n+1)=\mathfrak F(n)\times F(n+1).\tag3$$ En otras palabras, la fibonorial $\mathfrak F(n)$ da el producto de los números de Fibonacci de$F(1)$$F(n)$, inclusive. Por ejemplo, $$\mathfrak F(5)=\prod_{m=1}^5F(m)=1\times1\times2\times3\times5=30.\tag4$$
Pregunta: ¿Puede el fibonorial generalizada de una manera natural a una analítica de la función $\mathfrak F(z)$ de un complejo (o, al menos, real positivo) de la variable, de tal manera que se conserva la funcional de la ecuación de $(3)$ para todos los argumentos?
Hay una integral, la serie o la continuación de la fracción representación de $\mathfrak F(z)$ o en una representación en forma cerrada mediante conocido funciones especiales?
Existe un algoritmo eficiente para calcular los valores de $\mathfrak F(z)$ a los no-entero argumentos para una precisión arbitraria?
Así, podemos ver que el fibonorial es para los números de Fibonacci como el factorial es el de los números naturales, y la analítica de la función $\mathfrak F(z)$ que estoy buscando es el fibonorial como la analítica de la función $\Gamma(z+1)$ es el factorial.
