Let: $X \to Y$ ser una función. Mostrar que si es inyectiva $f$ $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ establece $A \subseteq X$ y $B \subseteq X$.

Question

Let: $X \to Y$ ser una función. Mostrar que si es inyectiva $f$ $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ establece $A \subseteq X$ y $B \subseteq X$.

Mi respuesta:

Supongo que es inyectiva $f$ y $f(x) \in f(A \cap B) \Leftrightarrow x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A$ y $x \in B \Leftrightarrow $ $ f(x) \in f(A)$ y $f(x) \in f(B) \Leftrightarrow f(x) \in f(A) \cap f(B)$. Por lo tanto, como cada paso es una equivalencia se puede leer al revés así $f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)$ y $f(A) \cap f(B)$ $ \subseteq f(A \cap B)$ significado $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$.

¿Lo que no entiendo es donde esta prueba se rompe si $f$ no es inyectiva?

Answer 1

Se rompe al revés aquí la lectura:

$x \in A$ and $x \in B$ $\Leftrightarrow f(x) \in f(A)$ and $f(x)\in f(B)$

No puede garantizar que es el mismo $x$ que da el valor $f(x)$. Para ser más exacto, usted debería haberse $y \in f(A)\cap f(B)$. $y \in f(A)$ Y $y \in f(B)$. Por lo tanto existe $x_1\in A$ y $x_2 \in B$ tal que $f(x_1)=f(x_2) = y$. Inyectabilidad asegura que $x_1=x_2$, y a continuación su argumento.

Answer 2

Si $f$ no es inyectiva, puede haber algunos $y\notin A\cap B$ tal que $f(y)=f(x)$.

Por ejemplo, si usted toma $A=B=\{x\}$ tienes que $\{y,x\}\subseteq\{w\mid f(w)=f(x)\}$. Pero por supuesto $y\notin A\cap B=\{x\}$.