¿Cómo resuelvo el límite $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\;\frac{x^5+y^5}{x^3+y^3}\quad ?$$ He intentado usar coordenadas polares, pero no creo que una respuesta sea válida porque theta no está fijo. ¿Qué más puedo hacer?
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DiGi
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Aquí hay un argumento algo directo que no menciona normas $p$.
Sea $u=\dfrac{y}x$, entonces $$f(x,y)=\frac{x^5+y^5}{x^3+y^3}=x^2\frac{1+u^5}{1+u^3}\;.$$
Ahora consideremos la fracción $\dfrac{1+u^5}{1+u^3}$:
$$\begin{cases} 0<\frac{1+u^5}{1+u^3}\le 1,&\text{ si }0\le u\le 1\;;\\ 1\le\frac{1+u^5}{1+u^3}<\frac53,&\text{ si }-11\;. \end{cases}$$
(Nota que $u$ no puede ser $-1$, ya que $f(x,-x)$ está indefinida.) Aquí, el primer y tercer casos son sencillos, y segundo se puede verificar fácilmente utilizando la regla de l'Hôpital para ver qué sucede conforme $u\to-1^+$.
De esto se sigue que
$$\begin{cases} f(x,y)<\frac53x^2,&\text{si }-11\;. \end{cases}$$
En todos los casos, entonces, $f(x,y)<2(x^2+y^2)$, y claramente $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0\;.$$
Leon Katsnelson
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274
Usando p-normas, el problema se puede reescribir como calcular $\lim_{z \rightarrow 0} \frac{||z||_5^5}{||z||_3^3}$. El término en el límite se puede escribir como $||z||_5^2 \frac{||z||_5^3}{||z||_3^3}$, y dado que $||z||_5 \le ||z||_3$, se sigue que $\lim_{z \rightarrow 0} \frac{||z||_5^5}{||z||_3^3} \leq \lim_{z \rightarrow 0} ||z||_5^2 = 0.
¡Ups, acabo de darme cuenta de que mi 'demostración' asume que $x,y$ son no negativos.
runeh
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1304
El enfoque de coordenadas polares funciona, excepto donde $x=-y$.
El caso donde $x=-y$ causa problemas, ya que la función no está definida allí, no porque las coordenadas polares causen el problema. Sin embargo, esto se puede solucionar, ya que el factor $(x+y)$ se puede cancelar del numerador y del denominador. Entonces el denominador se convierte en:
$$x^2-xy+y^2 = (x-\frac{y}{2})^2 +\frac{3y^2}{4}$$
lo cual es claramente distinto de cero excepto para $x=y=0$. estrictamente, el límite original no está definido ya que la función no está definida en la línea $y=-x$, y uno puede acercarse a cero de esa manera. Sin embargo, cancelar $(x+y)$ y establecer $y=-x$ le da a la función un valor de $\frac{5x^2}{3}$ a lo largo de esta línea.
