Un problema en la suma de los recíprocos de dos derivados

Question

Si $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $a<x<b$, y si $f(a)=a$, $f(b)=b$, probar existen puntos $x_1$ y $x_2$ $a<x_1<x_2<b$ para las cuales es verdadera la siguiente ecuación: $1/f'(x_1)+1/f'(x_2)=2$.

Answer 1

Puesto que es continua en el intervalo cerrado $f(x)$$[a,b]$$\exists c\in (a,b)$s.t $f(c)=\frac{f(a)+f(b)}{2}=\frac{a+b}{2}$ por el teorema del valor intermedio.

Luego por el teorema del valor medio,

$\exists x_1\in (a,c)$s.t. $f'(x_1)=\frac{\frac{a+b}{2}-f(a)}{c-a}=\frac{\frac{a+b}{2}-a}{c-a}=\frac{b-a}{2(c-a)}$

$\exists x_2\in (c,b)$s.t. $f'(x_2)=\frac{f(b)-\frac{a+b}{2}}{b-c}=\frac{b-\frac{a+b}{2}}{b-c}=\frac{b-a}{2(b-c)}$

Por lo tanto, $1/f'(x_1)+1/f'(x_2)=2$.