L $\mathcal{C}$ sea una categoría que tenga todos los coproductos y coigualadores. Mi pregunta es, ¿cuál es la forma más fácil de ver que $\mathcal{C}$ es cocompleto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como dejan claro los comentarios iniciales a la pregunta, la primera respuesta a la pregunta es "¡Es una prueba de una línea por dualidad!".
Porque el resultado de que una categoría que tiene todos los coproductos y coigualadores es cocompleta es, por supuesto, un corolario inmediato por dualidad del resultado estándar de que una categoría que tiene todos los productos e igualadores es completa.
Así es la cuestión realmente sobre cuál es la forma más fácil de probar o bien ¿el resultado estándar o su dual? Una vez más, como queda claro en los comentarios, en muchos textos aparece la misma línea de demostración del resultado estándar.
Pero si las presentaciones en los textos estándar le parecen demasiado rápidas, puede probar la versión a cámara lenta, en tres fases, del capítulo 14 de estas notas en línea .
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Si cree que si una categoría $\mathcal{C}$ tiene igualadores y productos, entonces tiene todos los límites (pequeños), entonces la afirmación s cierta por dualidad.
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Esto se demuestra en cualquier libro introductorio sobre teoría de categorías, por ejemplo Categorías para el matemático en activo Sección V.2. La construcción es bastante sencilla y será la misma en cualquier fuente que consultes. ¿Has mirado esta prueba?
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No entiendo la pregunta. Esencialmente sólo hay una prueba para esto, que se puede encontrar en todos los libros de teoría de categorías; en realidad se puede hacer como un ejercicio. El OP debe especificar lo que él / ella está buscando.
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(Es como preguntar: Cuál es la forma más fácil de demostrar que el producto de dos grupos abelianos es abeliano).