Encontrar el límite de $ \lim \limits_{x,y \to 0,0}{(1 + x^2 y^2)}^{-\frac{1}{x^2 + y^2}}$

Question

Aquí está mi límite:

$$ \lim \limits_{x,y \to 0,0}{(1 + x^2 y^2)}^{-\frac{1}{x^2 + y^2}}$$

He aprendido dos métodos. Uno en el que sustituimos y por ejemplo por $y = kx $ (porque $y = y_0 + k(x - x_0)$ y $y_0 = 0, x_0 = 0$ ). O con $x = r *cos(\phi)$ y $x = r *sin(\phi)$ donde $r \to 0$ .

Ninguno de los dos parece ayudarme por el momento (o al menos cuando intenté resolver con ambos no obtuve una buena respuesta.

Parece que podría usar $ \lim \limits_{x \to \infty}{(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$ pero lo he intentado y tampoco he conseguido una respuesta decente.

¿Alguna idea?

Answer 1

Podemos utilizar su idea de establecer $x= r \cos \theta$ , $y=r \sin \theta$ y el límite se convierte en

$$\lim_{r \rightarrow 0} \left(1+\frac{r^4 \sin^2 2\theta}{4} \right)^{-\frac{1}{r^2}}$$

Para un determinado $r$ los valores máximos y mínimos de esta función son $1$ y $\left( 1+\frac{r^4}{4} \right)^{-\frac{1}{r^2}}$ que se obtiene fijando $\theta =0$ y $\theta = \frac{\pi}{4}$ respectivamente.

El segundo límite como $r\rightarrow 0$ es $\lim_{r\rightarrow 0}\left( 1+\frac{r^4}{4} \right)^{-\frac{1}{r^2}} = \lim_{x\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{x^2} \right)^{\frac{x}{2}} = 1$

donde hemos tomado $x = \frac{2}{r^2}$

Como este es el valor mínimo que puede tomar la función en el círculo, podemos decir lo siguiente:

Para cualquier $\epsilon >0$ existe $r$ tal que $x^2 + y^2 < r^2 \Rightarrow |(1+x^2y^2)^{-\frac{1}{x^2+y^2}} -1| < \epsilon$ por lo que el límite es $1$ .