¿$A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{C})\implies A^TA$ es diagonalisable?

Question

He sido puesto en algún trabajo que hacer durante las vacaciones, y una de las preguntas que da una pista de que es como sigue: $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{C})\implies A^TA\text{ is diagonalisable}$.

Sé que

• $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\implies A^TA\text{ is diagonalisable}$

• $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{C})\implies A^*A\text{ is diagonalisable}$

en donde el primero puede ser considerado como un caso particular de este último. Tanto las afirmaciones son verdaderas porque $A^*A$ es auto adjunto, y luego podemos aplicar el Teorema Espectral para el normal de los operadores.

Pero es la declaración en la parte superior de mi pregunta verdadera, o que el profesor simplemente equivocado uno de los dos hechos que he escrito? Si es verdad, yo no puedo ver cómo demostrarlo, por lo que las sugerencias se agradece.

Answer 1

Esto es falso.

$$ A = \pmatrix {\frac {1} {2} + i & 1\\-1-\frac {i} {2} &} \qquad A ^ TA = \pmatrix {2i & 1\\1 & 0} \qquad \mathrm{Spectrum}(A^TA) = \ {i\} $$

Answer 2

Creo que es un error tipográfico. Su profesor debe escribir $A^\ast A$ en lugar de $A^TA$.

En general, todos los complejos de la plaza matriz $C$ $\mathbb C$- similar a la de una compleja matriz simétrica $S$. Desde una matriz simétrica representa un bilineal simétrica forma, y cada bilineal simétrica forma es diagonalisable (a través de $T$de congruencia), $S$ siempre puede ser escrito como $A^TA$ para algunos de matriz compleja $A$. Por lo tanto, si lo que tu profesor escribió es correcto, eso significa que cada complejo matriz cuadrada $C$ es diagonalisable. Sin embargo, esto es obviamente falso.

Para un ejemplo concreto, considere la posibilidad de $$A=\pmatrix{1&\tfrac{i+1}2\\ 1&\tfrac{i-1}2},\ A^TA=\pmatrix{2&i\\ i&0}= \pmatrix{-i y-i\\ 1&0}\pmatrix{1&1\\ 0&1}\pmatrix{0&1\\ i&-1}.$$ Desde el Jordán forma de $A^TA$ es $\pmatrix{1&1\\ 0&1}$, $A^TA$ es nondiagonalisable.

Answer 3

Como el show de contra ejemplos, $A^TA$ no necesita ser diagonalisable complejo $A$. Sin embargo, es "casi diagonalisable" $A^TA$. Esto se conoce como descomposición de Takagi: un complejo simétrico $B$, hay un unitario $U$y diagonal $D$ tal que $B=UDU^T$. Tenga en cuenta que $A^TA$ es (complejo) simétrico.