4 ecuaciones diferenciales de orden con las soluciones de la función de Bessel

Question

Estoy trabajando en un 4to orden lineal de la PDE procedentes de la modificación de la ecuación de onda de la rigidez del material. Me tienen simetría radial, que me ha llevado a un 4º orden, la educación a distancia en $r$:

$r^3 R''''(r) + 2r^2 R'''(r) - rR''(r)+R'(r) = m^4 r^3 R$

donde $m^4$ es una constante. Esta ODA está sujeto a las condiciones de contorno:

$|R(0)|<\infty$, $|R'(0)|<\infty$, $R''(R)=0$, $R'''(R)=0$,

donde $R$ es el radio de mi círculo. Sé que la solución debe ser en términos de funciones de Bessel como es típico de este tipo de problemas. Mathematica da soluciones en términos de funciones de Bessel y Meijer G funciones. Buscando en la base de la formulación (de wikipedia) de la Meijer G funciones no veo cómo esto es obviamente una solución (no implicando es obvio, yo soy lo que implica que no veo cómo se ajusta).

Mi primera pregunta es si alguien me puede ayudar a llegar a la Meijer G formulación o me presenta información útil sobre cómo esta DE se refiere a Meijer G funciones. En segundo lugar, existe de todos modos volver a escribir esto para obtener en términos de funciones de Bessel (no creo que este es el caso, ya que se cumplen las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden). Es la solución analítica de este fácil (fácil en términos de la economía en un principio a nivel de posgrado) o es muy complicado?

EDIT: me fui de nuevo a la formulación original del problema y encontrar:

$\left( \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left\{ r \frac{d}{dr} \right\} \right) R(r) = m^4 R(r)$.

Ahora, en lugar de ampliar, me encontré con que se me puede considerar esto como dos ecuaciones en derivadas parciales:

$\left( \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left\{ r \frac{d}{dr} \right\} \right) R(r) = k^2 R(r)$

y

$\left( \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left\{ r \frac{d}{dr} \right\} \right) R(r) = -k^2 R(r)$.

Desde este punto de vista, la solución se vuelve mucho más fácil de entender en términos de Funciones de Bessel. Voy a publicar una solución a continuación.

Answer 1

Doraemonpaul la respuesta anterior es perfectamente válido dada la ODA propuso originalmente. Sin embargo, un método más simple que se presenta dada la reformulación que he proporcionado en las respuestas. Para todos los interesados, esto es lo que me parece.

Sabemos que

$\left( \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left\{ r \frac{d}{dr} \right\} \right) R(r) = -k^2 R(r)$

tiene la función de Bessel de soluciones de la primera y de segunda clase, es decir, lineal combinado de $J_0(kr)$ $Y_0(kr)$ satisface la por encima de la educación a distancia. Debido a $n$ es un número entero en la Bessel ODE requerimos $J_0$ $Y_0$ para una solución linealmente independiente. Siguiente, tenga en cuenta que

$\left( \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left\{ r \frac{d}{dr} \right\} \right) R(r) = k^2 R(r)$

se resuelve por una lineal combinado de $I_0(kr)$$K_0(kr)$, modificado funciones de Bessel de primera y segunda clase. Entonces, para solucionar

$\left( \frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left\{ r \frac{d}{dr} \right\} \right) R(r) = m^4 R(r)$

simplemente tomamos una combinación lineal de los cuatro. La solución general está dada por

$R(r) = a_1 J_0(kr) + a_2 Y_0(kr) + a_3 I_0(kr) + a_4K_0(kr)$.

Entonces, podemos aplicar las condiciones de contorno. Tomando nota de que $Y_0(0)\rightarrow -\infty$ a la misma tasa como $K_0(0)\rightarrow \infty$ y $J_0(0)=I_0(0)$, se requieren $a_2 = a_4$. La derivada de los rendimientos

$R'(r) = -ka_1 J_1(kr) - ka_2 Y_1(kr) + ka_3 I_1(kr) - ka_2 K_1(kr)$.

Tomando nota de que $Y_1(0)$ $K_1(0) \rightarrow \infty$ a la misma velocidad, nos encontramos con que $a_2 = a_4 \equiv 0$.

Voy a parar aquí, las otras condiciones de contorno son fáciles de aplicar. Usted, a continuación, obtener un sistema de segundo orden

$\left[\begin{array}{c c} J_0(kR) - J_2(kR) & I_0(kR) + I_2(kR)\\ 3J_1(kr) - J_3(kR) & 3I_1(kR) + I_3(kR) \\ \end{array} \right]$ $\left[\begin{array}{c} a_1\\ a_3\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\end{array}\right]$

que puede ser resuelto numéricamente (a menos de que alguien sabe cómo resolver un acoplado sistema de funciones de Bessel analíticamente? O más específicamente, sólo el factor determinante. Me encantaría oír acerca de él) para encontrar permisible $kR$ valores.

Answer 2

Quizás el enfoque más directo debe utilizar el método de Frobenius:

Que $R(r)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nr^{n+k}$,

Entonces $R'(r)=\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)a_nr^{n+k-1}$

$R''(r)=\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)(n+k-1)a_nr^{n+k-2}$

$R'''(r)=\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)(n+k-1)(n+k-2)a_nr^{n+k-3}$

$R''''(r)=\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+k-3)a_nr^{n+k-4}$

$\therefore r^3\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+k-3)a_nr^{n+k-4}+2r^2\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)(n+k-1)(n+k-2)a_nr^{n+k-3}-r\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)(n+k-1)a_nr^{n+k-2}+\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)a_nr^{n+k-1}=m^4r^3\sum\limits_{n=0}^\infty a_nr^{n+k}$

$\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+k-3)a_nr^{n+k-1}+\sum\limits_{n=0}^\infty2(n+k)(n+k-1)(n+k-2)a_nr^{n+k-1}-\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)(n+k-1)a_nr^{n+k-1}+\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)a_nr^{n+k-1}-\sum\limits_{n=0}^\infty m^4a_nr^{n+k+3}=0$

$\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)(n+k-1)^2(n+k-2)a_nr^{n+k-1}-\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)(n+k-2)a_nr^{n+k-1}-\sum\limits_{n=0}^\infty m^4a_nr^{n+k+3}=0$

$\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)((n+k-1)^2-1)(n+k-2)a_nr^{n+k-1}-\sum\limits_{n=0}^\infty m^4a_nr^{n+k+3}=0$

$\sum\limits_{n=0}^\infty(n+k)^2(n+k-2)^2a_nr^{n+k-1}-\sum\limits_{n=4}^\infty m^4a_{n-4}r^{n+k-1}=0$

$k^2(k-2)^2a_0r^{k-1}+(k+1)^2(k-1)^2a_1r^k+(k+2)^2k^2a_2r^{k+1}+(k+3)^2(k+1)^2a_3r^{k+2}\sum\limits_{n=4}^\infty((n+k)^2(n+k-2)^2a_n-m^4a_{n-4})r^{n+k-1}=0$

$\therefore k^2(k-2)^2=0$

$k=0,2$

¿Lo puede tomar desde aquí?