No-cíclico finitas extensiones de campos fijos de automorphisms de orden infinito de campos no-cuerpo algebraicamente cerrados

Question

Este es un problema de teoría de Galois:

Supongamos que $F$ es algebraicamente cerrada, $\lambda$ es un automorfismo de orden infinito y $f=F^\lambda$. Mostrar que ninguna extensión finita de $f$ es cíclico.

¿Qué es un ejemplo de $F$ que no es algebraicamente cerrada por lo que la conclusión no puede?

¿Se puede caracterizar estos ejemplos de alguna manera?

Answer 1

Llenar los detalles de la contraejemplo sugerido por Jacob comentario:

Escribir $\mathbb{Q}\left(\{x_i\}_{i\in \mathbb{Z}}\right)$$\mathbb{Q}(x_\mathbb{Z})$. Tenga en cuenta que $x^2-x_i=0$ no tiene raíz en $\mathbb{Q}(x_\mathbb{Z})$, lo $\mathbb{Q}(x_\mathbb{Z})$ no es algebraicamente cerrado. Deje $\sigma:\mathbb{Q}(x_\mathbb{Z})\rightarrow\mathbb{Q}(x_\mathbb{Z})$ ser el automorphism definido por $\sigma:x_i\rightarrow x_{i+1}$. A continuación, $\sigma^r:x_i\mapsto x_{i+r}$ es el mapa de identidad sólo al $r=0$, lo $\sigma$ tiene orden infinito. Tomar cualquier racionales polinómicas $f\in \mathbb{Q}(x_\mathbb{Z})$. Si $f$ es un polinomio constante (es decir, $f\in \mathbb{Q}$), entonces, ciertamente,$\sigma(f)=f$. Si $f$ no es un polinomio constante, entonces vamos a $m_f$ denotar el más bajo índice en $\mathbb{Z}$ de una variable que aparece en $f$ con un coeficiente distinto de cero. Luego, por supuesto, el más bajo índice de una variable que aparece en $\sigma(f)$ con un coeficiente distinto de cero es $m_f+1$. De ello se desprende que $\sigma(f)\ne f$, lo $\mathbb{Q}(x_\mathbb{Z})^\sigma=\mathbb{Q}$. Por supuesto, no todos finito extensión de $\mathbb{Q}$ es cíclico.