Cardinalidad de variedad

Question

Estoy tratando de mostrar que la cardinalidad de cualquier variedad de dimensión positiva es $ |k |$ donde $k $ es el campo considerado. Esto es parte del ejercicio I. 4.8 en Hartshorne de la Geometría Algebraica:

Demostrar que toda variedad de dimensión positiva sobre $k $ tiene la misma cardinalidad como $ k $. Sugerencias: Do $\mathbb{A}^{n} $ $\mathbb{P}^{n}$ primera. Entonces para cualquier $ X $, el uso de la inducción en la dimensión $ n $. El uso de (4.9) para hacer $ X $ birational a una hipersuperficie $ H \subset\mathbb{P}^{n+1 }$. Uso (Ex. 3.7) para demostrar que la proyección de $ H$ $\mathbb{P}^{n}$desde un punto de no $ H$ es finito-a-uno y surjective.

Hasta el momento me mostró exitosamente este resultado para$ \mathbb{A}^{ n} $$ \mathbb{P}^{ n} $. Para el caso general, ya que $ X$ se encuentra en un espacio proyectivo, tenemos $|X | \le | k| $. Para demostrar lo contrario inquality, $ X $ tiene afín a abrir subconjunto $ U $de la dimensión positiva. Por lo tanto, no es un polinomio no constante como función regular en $ U $. Si me muestran que este polinomio es surjective, estoy hecho. Yo soy incapaz de mostrar esta tan lejos.

Estoy interesado en completar mi enfoque. Si es imposible o muy difícil, yo estoy muy bien con una solución tras la sugerencia del libro.

Gracias

Answer 1

Su enfoque se encuentra con la dificultad de mostrar suprayectividad de cualquier función no constante regular. Sin embargo, pueden hacerse al trabajo después de algunos ajustes:

Basta para demostrar que una variedad afín $U$, $\dim U > 0$, $|U| \ge |k|$. Un morfismo $U \to \mathbb{A}^1_k$ es igual a un elemento del anillo de coordenadas $A(U) = k[x_1, \ldots, x_n]/I(U)$. Desde $k = \overline{k}$ y $\dim U = \dim A(U) > 0$, allí existe $f \in A(U)$ trascendental $k$, es decir, $\phi^* : k[x] \to A(U), x \mapsto f$, es una inyección. $\phi : U \to \mathbb{A}^1_k$ Es dominante (de hecho, $\phi(U)$ contiene un conjunto abierto no vacío), así $|\mathbb{A}^1_k \setminus \phi(U)| < \infty \implies |U| \ge |\phi(U)| = |\mathbb{A}^1_k| = |k|$.