¿Cómo obtener la ecuación de Laplaciano p $$\Delta_p u = \nabla \cdot (|\nabla u|^{p-2} \nabla u) = 0$ $ como el reductor de la integral $$\int_{\Omega}|\nabla u|^p$ de $?
Yo no puedo expandir $|\nabla u + t\nabla v|^p$ muy bien.
Respuesta
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Utilice el hecho de que $\nabla |x|^p = p|x|^{p-2}x$. Esto implica $$\frac{d}{dt} |\nabla u + t \nabla v|^p = p|\nabla u + t \nabla v|^{p-2}(\nabla u + t \nabla v) \cdot \nabla v$ $ y por lo tanto $$\left.\frac{d}{dt} |\nabla u + t \nabla v|^p\right|_{t = 0} = p |\nabla u|^{p-2} \nabla u \cdot \nabla v = 0.$ $ desde $$\int_\Omega|\nabla u|^{p-2} \nabla u \cdot \nabla v \, dx = 0$$ you can integrate by parts to get $$ \int_\Omega \nabla \cdot( |\nabla u|^{p-2} \nabla u) v \,dx = 0$$ for all smooth compactly supported $$%v. Así $$\nabla \cdot( |\nabla u|^{p-2} \nabla u) = 0$$ in $ \Omega$.
