Convergencia de la variable aleatoria

Question

Deje que $X_1, X_2, ...$ ser una variable aleatoria no negativa distribuida de forma idéntica con $EX_1< \infty $ . Demuestra que $ \frac {X_n}{n} \rightarrow 0$ casi seguro.

Estoy tratando de usar a Borel Cantelli Lemma (primera parte) para probar esto.

Answer 1

Creo que se aplica Borel-Cantelli. Arreglar $a > 0$ . Deje que $X$ ser una variable aleatoria que tiene la misma distribución que cualquiera de las $X_n$ 's. Para cada uno $m \geq 1$ define $A_m$ para ser el evento que $am \leq X \lt a(m+1)$ . $ \newcommand { \E }{ \mathbf {E}}$ $$ \begin {eqnarray*} \sum\limits_ {n=1}^{ \infty } \Pr\left [ \frac {X_n}{n} \geq a \right ] &=& \sum\limits_ {n=1}^{ \infty } \Pr\left [X \geq an \right ] \\ &=& \sum\limits_ {n=1}^{ \infty } \sum_ {m=n}^{ \infty } \Pr [am \leq X < a(m+1)] \\ &=& \sum\limits_ {n=1}^{ \infty } \sum_ {m=n}^{ \infty } \Pr [A_m] \\ &=& \sum\limits_ {m=1}^{ \infty } m \Pr [A_m] \ \ \ \ \ \text {switching the order of summations} \\ &=& \frac {1}{a} \sum\limits_ {m=1}^{ \infty } am \Pr [A_m] \\ & \leq & \frac {1}{a} \sum\limits_ {m=1}^{ \infty } \E [X \cdot \mathbf {1}_{A_m}] \\ &=& \frac {1}{a} \E \left [X \cdot \sum\limits_ {m=1}^{ \infty } \mathbf {1}_{A_m} \right ] \\ & \stackrel {(1)}{ \leq }& \frac { \E X}{a} < \infty. \end {eqnarray*} $$ La desigualdad $(1)$ se desprende del hecho de que $A_m$ para diferentes $m$ son desarticulados.