Confusión respecto a la prueba de la regla de L'Hopital.

Question

Estaba leyendo "Cálculo" de Spivak. Tengo una duda con respecto a la demostración de la regla de L'Hopital para la forma indeterminada 0/0. Enunciado del teorema :-

"Supongamos que $ \lim_{x\to a} f(x) = 0 $ y $\lim_{x\to a} g(x) = 0 $ y supongamos que $ \lim_{x\to a} \frac {f'(x)}{g'(x)} $ existe . Entonces $ \lim_{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)} $ existe y

$$ \lim_{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac {f'(x)}{g'(x)} $$ "

Tengo una confusión con respecto a la última parte de la prueba.

Utilizando el Teorema del Valor Medio de Cauchy se demuestra que existe un número $\alpha_x$ en $(a,x)$ tal que $$ \ \frac {f(x)}{g(x)} = \ \frac {f'(\alpha_x)}{g'(\alpha_x)} $$

Ahora $\alpha_x$ se acerca a $a$ como $x$ se acerca a $a$ porque $\alpha_x$ está en $(a,x)$ se deduce que $$ \lim_{x\to a} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac {f'(\alpha_x)}{g'(\alpha_x)} = \lim_{\alpha_x\to a} \frac {f'(\alpha_x)}{g'(\alpha_x)} = \lim_{y\to a} \frac {f'(y)}{g'(y)} $$

Mi pregunta se refiere a las dos últimas ecuaciones. Entiendo que como $x$ se acerca a $a$ también lo hace $\alpha_x$ pero entonces, ¿cómo estamos tratando $\alpha_x$ como "variable ficticia" y sustituirla por $y$ . No es $\alpha_x$ una variable dependiente de x. (También tengo algunos problemas para ver cómo el paso $$\lim_{x\to a} \frac {f'(\alpha_x)}{g'(\alpha_x)} = \lim_{\alpha_x\to a} \frac {f'(\alpha_x)}{g'(\alpha_x)}$$ se justifica )

Gracias de antemano. Soy nuevo en estos foros y espero la discusión.

Answer 1

Las dos últimas identidades se derivan del siguiente hecho:

Supongamos que la función $h$ tiene límite $\ell$ en $a$ y que la función $\alpha$ tiene límite $a$ en $x_0$ Es decir, $$ \lim_{t\to a}h(t)=\ell,\qquad\qquad\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=a. $$ Entonces, la función $h\circ\alpha$ tiene límite $\ell$ en $x_0$ Es decir, $$ \lim_{x\to x_0}h(\alpha(x))=\ell. $$

Una prueba sencilla es el enfoque habitual de epsilon-delta.

Answer 2

Veo su punto de vista y puede ser visto como una formulación descuidada. Empezamos por la izquierda con un arbitrario secuencia $x\to a$ y queremos demostrar que obtenemos el mismo valor para todas esas secuencias arbitrarias. Entonces sustituimos esta secuencia arbitraria por una específico secuencia $\alpha_x\to a$ (dependiendo de la secuencia arbitral dada). Como la premisa es que el límite de la derecha existe, es decir, que obtenemos el mismo valor para todo secuencias $y\to a$ Sabemos que nuestro específico secuencia produce ese mismo valor.

Answer 3

Estas igualdades se mantienen porque has supuesto que el límite $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ existe. Eso significa que no importa realmente cómo se aborda $a$ (es decir, tomar $x\rightarrow a$ o $\alpha_x\rightarrow a$ ), hay que llegar al mismo valor para el límite. Esto también explica por qué tu última igualdad está bien, ya que tienes alguna variable que se acerca a $a$ No importa cómo se llegue allí; esencialmente, si el límite existe, entonces la variable respecto a la cual se está tomando el límite es automáticamente una variable ficticia.

Si quiere ser más preciso, puede utilizar la función $\varepsilon$ - $\delta$ definición del límite. Digamos que $L$ es su límite, que suponemos que existe. Entonces para todo $\varepsilon>0$ existe algún $\delta>0$ de manera que si $|a-x|<\delta$ entonces $\left|L-\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\right|<\varepsilon$ . Pero $|a-\alpha_x|<|a-x|<\delta$ por lo que sabemos que para cada $\varepsilon$ podemos utilizar el mismo $\delta$ para ver que si $|x-a|<\delta$ entonces $\left|L-\dfrac{f'(\alpha_x)}{g'(\alpha_x)}\right|<\varepsilon$ . Esto implica inmediatamente $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(\alpha_x)}{g'(\alpha_x)} = L$ .