Partícula que viene a través de una barrera de potencial de paso

Question

Mi mecánica cuántica libro de texto dice que cuando una partícula (en el caso clásico) viene a través de un potencial de paso de la barrera de altura finita, si tiene suficiente energía para superar la barrera, se continuará con la reducción de la energía cinética.

Me estoy encontrando difícil de entender ya que la fuerza está dada por $$F=-\frac{dV(x)}{dx}$$

Para un paso de la barrera, esto debe darle una infinita fuerza que actúa (en la dirección opuesta) de la partícula cuando entra en contacto con la barrera.

La única otra cosa que se me ocurre es que el modelo de la fuerza sobre la partícula por una delta de dirac de la función, así que efectivamente ver que obtener un impulso en la dirección opuesta, lo que podría disminuir su energía cinética. Es este razonamiento correcto?

Answer 1

Usted puede hacer esto usando $\delta$ funciones así si quieres (siempre te vas con cuidado). Deje $V(x) = V_0\theta(x-x_0)$, luego $$F(x) = -V'(x) = -V_0\delta(x-x_0)$$ Por simplicidad, vamos a tomar la barrera de potencial se encuentra en$x_0 = 0$, de modo que por la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento se convierte en $$-V_0\delta(x(t)) = m \ddot x(t)$$ Vamos a resolver esta ecuación sujeta a los datos iniciales $$x(0) = -x_a, \qquad \dot x(0) = v_a, \qquad x_a>0, \qquad v_a>0$$ En otras palabras, la partícula se aproxima a la barrera de potencial de la izquierda con velocidad de $v_a$. Si integramos ambos lados con respecto al tiempo de $t=0$ a algunos $t>t_*=x_a/v_a$ ($t_*$ es simplemente el momento en el que se pone al origen), entonces tenemos $$v(t) = v_a - \frac{V_0}{m}\int_0^t \delta(x(t)) dt'$$ ahora aquí está la parte difícil, para realizar la integral, utilizamos la distribución de la identidad $$\delta(f(x)) = \sum_{\{x_i:f(x_i) = 0\}} \frac{\delta(x-x_i)}{|f(x_i)|}$$ y obtenemos $$\delta(x(t)) = \frac{\delta(t-t_*)}{v(t_*)}$$ así, obtenemos $$v(t) = v_a - \frac{V_0}{m}\int_0^t\frac{\delta(t'-t_*)}{v(t_*)} dt' = v_a - \frac{V_0}{m v(t_*)}$$ El problema es, ¿qué debemos elegir para $v(t_*)$, la velocidad, cuando la partícula golpea la barrera? Resulta que debemos elegir es igual al promedio de las velocidades antes y después cruza la barrera con el fin de satisfacer la conservación de la energía (y, por tanto, ser coherente con el alisado procedimiento descrito en Michael Brown respuesta) $$v(t_*) = \frac{1}{2}(v(t) + v_a)$$ y esto da $$v(t) = v_a - \frac{2 V_0}{m(v(t) + v_a)}$$ Que es el mismo que el de la conservación de la energía la ecuación que determina la velocidad después de encontrarse con la barrera; $$\frac{1}{2} m v(t)^2 = \frac{1}{2} mv_a^2 - V_0.$$ Esperamos que haya encontrado este interesante!

Saludos!

Answer 2

Sí, la derivada de una función de paso es una delta de Dirac. Usted puede ver esto por la integración de la función delta: $$\Theta(x)=\int_{-\infty}^x \delta(x') \mathrm{d}x'$$ donde $$\Theta\left(x\right)=\begin{cases} 1 & x>0\\ 0 & x<0 \end{casos}$$ (tenga en cuenta que $\Theta(0)$ no está definido por esta receta. Si utiliza una representación simétrica de la $\delta$ función obtendrá $\Theta(0)=\frac{1}{2}$, pero eso no es importante ahora.)

El más físico de la forma de pensar acerca de esto es para suavizar el potencial para alguna función que va desde cero hasta el máximo en algunos finito distancia. Por ejemplo:

$$V(x) = \frac{V_0}{2} \left[1 + \tanh\left(\frac{x}{\ell}\right)\right]$$

que se parece a esto:

En este caso el ancho de los potenciales de paso es de la orden de $\ell$. La fuerza es la derivada de esto:

$$F = - \frac{V_0}{2\ell} \mathrm{sech}^2 \left( \frac{x}{\ell} \right)$$

que en todas partes es finito, pero se hace muy grande cerca de $x=0$ en el límite de $\ell\rightarrow0$.

Esto hace que la mecánica clásica problema agradable y bien definidos. Usted puede integrar las ecuaciones de movimiento para una clásica de las partículas en este potencial y ver lo que hace. Usted encontrará que si su energía cinética es menor que $V_0$ tendrá un punto de inflexión y reflejar a $x=-\infty$. Por otro lado, si su energía es mayor que la barrera se continuará con una velocidad final determinado por la conservación de la energía:

$$\frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m v_i^2 - V_0$$

Esto se mantiene incluso en el límite de $\ell\rightarrow 0$. Las diferencias más interesantes en la teoría cuántica son penetración de la barrera y la probabilidad finita de reflexión, incluso por encima de la barrera.

Sólo por diversión que ha trazado algunas líneas de corriente, recogiendo algunos simples números para $m,V_0,\ell$. Si usted no ha visto suficiente de la mecánica clásica sin embargo, esto se llama un plano fase. Los dos ejes son las dos variables $x$$v=\dot{x}$, y las curvas muestran cómo cambian con el tiempo. Se puede ver que las partículas que llegan desde la izquierda reflexionar si no tiene la energía suficiente, sino que pasan a través de a la derecha, con una disminución de la velocidad si van alguna vez la barrera. Todas las partículas incidentes de la derecha pase a través de el paso (y, de hecho, la ganancia de velocidad en la dirección negativa). Parcelas de este tipo son una gran manera de obtener la visión clásica de los sistemas mecánicos.

Answer 3

Una forma de definir la fuerza es como dp/dt - tasa de cambio en momentum. O en intervalo de tiempo finito de s, $\Delta p = \int F dt$ F, como dices, es una función de dirac, infinitamente fuerte pero experimentada por la partícula (imaginando como clásico) para un tiempo cero. Infinito cero veces - o mejor dicho, el límite de una duración muy pequeña veces una fuerza muy grande - es un número finito.