El mapa lineal que está equipado con un $k[x]$ -módulo, ¿es fijo o puede variar? ¿O algo más? ¿Qué es un ejemplo?

Question

Dejemos que $A = k[x]$ donde $k$ es un campo. Entonces un $A$ -módulo es sólo un $k$ -espacio vectorial $V$ equipado con un $k$ -mapa lineal $\widehat{x}: V \to V$ .

Un punto de confusión con esto es el siguiente. Por lo tanto, es un $A$ -equipado con un mapa lineal fijo $\widehat{x}$ que corresponde a un elemento específico en $k[x]$ ? ¿O es $\widehat{x}$ que se permite variar como para corresponder a todos los elementos de $k[x]$ ? ¿O estoy pensando en esto de manera equivocada y esto $\hat{x}$ corresponden a $k[x]$ agregado y no un elemento o elementos en él?

¿Puede alguien proporcionarme un ejemplo para aclarar mi confusión?

Answer 1

El $\hat{x}$ representa un mapa lineal particular $V \to V$ . Desde $A = k[x]$ puede expresar cada elemento de $A$ como $k$ -combinación lineal de potencias de $x$ . Ahora, el espacio vectorial $V$ es un $A$ -módulo precisamente cuando se tiene un mapa lineal $V \to V$ asociado a cada elemento de $A$ . Ya que sabes cómo hacer esto para el elemento $x$ (es decir, el mapa asociado es $\hat{x}$ ), se puede asociar a un polinomio $p(x) \in A$ el mapa $p(\hat{x})$ .