Fijar un universo $U$ de los conjuntos. Puedo tomar esto se hace para parar accidentalmente a hablar acerca de las colecciones que no son conjuntos. MacLane dice que una pequeña categoría es uno en el que los objetos y morfismos son ambos conjuntos. Pero, ¿de dónde estos sets en vivo? Qué tienen que vivir en el universo? Son todas las categorías pequeñas en este contexto? ¿Significa esto que si decimos que una categoría de los límites de los pequeños no sólo tienen todos los límites? Lo que si tengo una categoría $C$, y creo que el functor que envía A, B para los morfismos entre a y B. ¿Cómo sé que este conjunto de morfismos se encuentra en $\mathsf{Set}$ por lo que el universo me ha elegido?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El conjunto de la teoría de la configuración de Categorías para el trabajo matemático es algo sutil. Recordemos ahora para mayor claridad:
La base del sistema de Zermelo–Fraenkel de la teoría de conjuntos con la elección.
Suponemos que no es fuertemente inaccesible cardenal $\kappa$, y fijamos una constante $U = V_\kappa$.
Un pequeño conjunto es cualquier miembro de $U$. Un metacategory es ningún modelo de primer orden de la teoría de categorías – por ejemplo, la clase de todos los conjuntos y todos los mapas constituyen el metacategory $\textbf{SET}$. Una categoría es un modelo dentro de nuestra teoría de conjuntos. Un local pequeño de la categoría es una categoría cuya hom objetos son conjuntos pequeños – por ejemplo, la categoría de $\textbf{Set}$ de todos los pequeños conjuntos. Una pequeña categoría es un local pequeño de la categoría cuyo conjunto de objetos es también pequeño.
Por lo tanto, existe una tricotomía de los pequeños conjuntos, conjuntos grandes, y adecuado de las clases. Esta es no es la práctica habitual: normalmente pensamos en todos los conjuntos de ser pequeño. Esto no causa muchos problemas si sólo trabaja con algunas categorías fijas, pero si usted realmente desea hacer la categoría de la teoría en lugar de simplemente utilizar , eventualmente, resulta más conveniente utilizar el CWM de instalación.
Aquí están algunos de los riesgos del uso de una clase de teoría de conjuntos, tales como von Neumann–Bernays–Gödel o Morse–Kelley en lugar de asumir que tenemos un universo:
Como Makoto ha puesto de relieve, incluso si $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ son localmente categorías pequeñas, el functor categoría $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ no existe. Esto es debido a que su objeto sería una colección adecuada a las clases, y esto no puede ser incluso una clase. En el CWM de la instalación, esta es una legítima categoría, porque vive en $V_{\kappa + 2}$, pero MK solo nos permite hablar de $V_{\kappa + 1}$.
No hay ninguna vía para el "universo de la ampliación": si quieres hablar de categorías que no son localmente pequeño, entonces usted tiene que vivir con el hecho de que no hay ningún hom functor, porque la categoría de todas las clases no es un objeto legítimo. En la instalación de CWM, este no es un problema: hom objetos siempre se pone, por lo que siempre hay un hom functor aunque el destino no necesita ser $\textbf{Set}$. (Que es la razón por CWM veces habla de $\textbf{Ens}$ en lugar de $\textbf{Set}$.)
Algunos teoremas no puede ser probada como de principio a fin. Por ejemplo, un argumento bien conocido de Freyd muestra que una categoría $\mathcal{C}$ con productos de tamaño $\left| \operatorname{mor} \mathcal{C} \right|$ debe ser un preorden – pero la obvia la formalización de este argumento en la clase de teoría de conjuntos sólo funciona al $\operatorname{mor} \mathcal{C}$ es un conjunto! De hecho, en la conclusión de Freyd del argumento esencialmente uno de los invoca el Cantor del teorema que $2^\kappa \gneq \kappa$, pero el Cantor del teorema no se puede aplicar para la adecuada clases. (En primer lugar, no se puede hablar de la clase de todas las subclases de una clase adecuada – tal cosa no existe y, aunque la clase de todos los subconjuntos de una clase adecuada existe, el principio de limitación de tamaño implica que es el mismo tamaño que cualquier otra clase adecuada.) En su lugar, uno debe aplicar directamente la diagonal argumento para el hom-clases de $\mathcal{C}$ a derivar una contradicción.
Mike Shulman tiene un muy bien escrito artículo comparando las distintas alternativas a la ordinaria de ZFC en el contexto de la categoría de teoría: usted debe leer cuando tienes la oportunidad.
kubi
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20607
Deje $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ categorías. Deje $\mathcal{D}^{\mathcal{C}}$ ser la colección de functors de$\mathcal{C}$$\mathcal{D}$. Si Ob$(\mathcal{C})$ no es un conjunto, $\mathcal{D}^{\mathcal{C}}$ no es una categoría en el sentido usual de la palabra. Una de las razones por las que los universos se presentó para remediar este problema.
Deje $\mathcal{U}$ ser un universo. Un elemento de $\mathcal{U}$ es llamado un conjunto pequeño. Se puede demostrar que $\mathcal{U}$ no es pequeño. Solemos considerar sólo una categoría $\mathcal{C}$ tal que Ob$(\mathcal{C}) \subset \mathcal{U}$ y Mor$(\mathcal{C}) \subset \mathcal{U}$. Si Ob$(\mathcal{C})$ y Mor$(\mathcal{C})$ son pequeños, podemos decir $\mathcal{C}$ es pequeña.
notpeter
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588
Para MacLane de fundaciones, se corrige un universo $U$ cuyos elementos son los "conjuntos" y cuya subcolecciones son las "clases". Por lo que una pequeña categoría es una de cuyas colecciones de objetos y morfismos son tanto los elementos del universo.
No todas las categorías son pequeños: el primer ejemplo es $\mathcal{S}et$, cuya colección de objetos es exactamente $U$. Si $\mathcal{S}et$ eran pequeñas, tendríamos $U\in U$, pero esto contradice el axioma de fundación. Pero esto empieza a parecer extraño, ya que hemos definido $U$ como algunas conjunto, existentes de acuerdo a ZFC (o su favorito de la teoría de conjuntos,) que satisface los axiomas de un universo. Es por eso que definimos $\mathcal{S}et$ según la categoría de todos los pequeños conjuntos, es decir, todos los conjuntos que son elementos de $U$. El universo axiomas garantía de que podemos obtener a partir de un pequeño conjunto a un uso estándar del conjunto teórico de las operaciones, por lo que esta definición es razonable.
Así que, no habiendo límites de los pequeños no es lo mismo que tener todos los límites. No hay ningún límite de la imagen en $\mathcal{G}roup$ de la identidad functor, por ejemplo, ya que este sería un producto de todos los grupos, a las que habría que tiene cada grupo, incluyendo a sí mismo como un cociente.
En cuanto a tu última pregunta, si para cada $A,B \in \mathcal{C}$, $\hom(A,B)\in U$, podemos decir $\mathcal{C}$ es localmente pequeño. $\mathcal{S}et$ y el resto de categorías concretas en el ámbito local pequeño, porque las funciones $B^A$ $A$ $B$son un subconjunto de a $\mathcal{P}(A\times B)$, y en el universo de los axiomas de garantía de $U$ es cerrado bajo productos, powersets, y subconjuntos.
