¿Torre de Whitehead functorial?

Question

La torre de Whitehead de un espacio (punteado) es una torre de espacios que mata sucesivamente los grupos de homotopía inferiores. Los dos primeros espacios se pueden construir de manera functorial (al menos para espacios adecuadamente buenos) como el componente conectado y la cubierta universal.

¿Los espacios restantes se pueden construir de manera functorial?

Para la situación dual la respuesta es afirmativa. Es decir, para la torre de Postnikov donde tenemos una torre de espacios en la que los grupos de homotopía inferiores están intactos, pero donde hemos eliminado todos los grupos de homotopía superiores, sí tiene una construcción functorial (nuevamente para espacios buenos). La construcción que conozco pasa por los conjuntos simpliciales. Me pregunto si algo similar existe para la torre de Whitehead.

Answer 1

La n-ésima etapa de la torre de Whitehead de X es la fibra de homotopía del mapa de X a la n-ésima (más o menos) etapa de su torre de Postnikov, por lo que puedes utilizar tu construcción functorial de la torre de Postnikov junto con una construcción functorial de la fibra de homotopía (como la usual utilizando el espacio de caminos del objetivo).

La n-ésima etapa de la torre de Whitehead de X también es la reemplazo cofibrante de X en la localización de Bousfield derecha de Top con respecto al objeto Sn (más o menos). Dado que Top es derechamente propio y celular, esta localización existe según el resultado del capítulo 5 del libro de Hirschhorn sobre localizaciones de categorías modelo. Puedes echar un vistazo allí para ver cómo se construye el funtor de reemplazo cofibrante. Con cierto cuidado, deberías ser capaz de definir de manera functorial también los mapas en la torre.

(Por cierto, la torre de Postnikov también puede obtenerse de manera functorial mediante una localización de Bousfield izquierda de Top.)

Answer 2

$X \leftarrow B\Omega X \leftarrow B^2 \Omega^2 X \leftarrow \ldots$

Answer 3

Si tenemos una torre functorial de Postnikov de un espacio puntiagudo X, la torre hereda un punto base. Luego tome la torre sobre la torre de Postnikov que es puntualmente la fibración de caminos. Esto es puntualmente una fibración. Tire hacia atrás esta torre a lo largo del mapa desde la torre constante en X, luego esto da una torre sobre X, que, mediante el tratamiento general en el artículo de Whitehead de 1952 (creo), es una torre de Whitehead para X.

Answer 4

$W_{n+1}(X)$ es la fibra homotópica del mapa natural $W_n(X)\to K(\pi_n(X),n)$, por lo que todos son functoriales.