La integral \begin{align} I_{4} = \int_{0}^{1} \ln(1-x) \ \ln^{2}\left( \ln\left(\frac{1}{x}\right) \right) \ \frac{dx}{x} \end{align} puede ser expresado como \begin{align} I_{4} = \zeta^{''}(2) - \frac{\gamma^{2} \pi^{2}}{6} - \frac{\gamma \pi^{2}}{3} \ln\left( \frac{2 \pi} {A^{12}} \right) + \frac{\pi^{4}}{36} \end{align} donde $A$ es el Glaisher-Kinkelin constante.
Las integrales \begin{align} I_{5} = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{\sqrt{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}} \ \ln^{2}\left( \ln \left(\frac{1}{x}\right) \right) \ \frac{dx}{x} \end{align} y \begin{align} I_{6} = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1-x)}{\ln^{3/2}\left(\frac{1}{x}\right)} \ \ln^{2}\left( \ln \left(\frac{1}{x}\right) \right) \ \frac{dx}{x} \end{align} puede ser expresado en términos de$\partial_{s}^{2}\zeta(s)|_{s=3/2}$$\partial_{s}^{2}\zeta(s)|_{s=1/2}$, respectivamente. Estas integrales se evaluó en forma cerrada de la expresión sin el uso de derivados de la función Zeta?
Si las integrales pueden ser evaluados en forma ¿cuál es el valor resultante?
