Cálculo de Spivak (capítulo 5, problema 41): Demostración de que $\lim_{x \to a} x^2 = a^2$

Question

En el capítulo 5, problema 41, Spivak proporciona una forma alternativa de demostrar que

$$\lim_{x \rightarrow a} x^2 = a^2\,\,,\,\,a > 0$$

Dado $\,\epsilon > 0\,$ dejar

$$\delta = \min\left\{\sqrt{a^2 + \epsilon} - a, a - \sqrt{a^2 - \epsilon}\right\}$$

Entonces

$$|x - a| < \delta\Longrightarrow \sqrt{a^2 - \epsilon} < x < \sqrt{a^2 + \epsilon}\Longrightarrow a^2 - \epsilon < x^2 < a^2 + \epsilon\,\,,\, |x^2 - a^2| < \epsilon$$

A continuación, afirma que esta prueba es falaz. Pero, ¿dónde está la falacia?

Answer 1

En el libro de Spivak, este hecho límite (que luego se enuncia como: función $x^2$ es continua) se demuestra bastante pronto. Antes de que se conozca la existencia de las raíces cuadradas. En efecto, la continuidad de la función $x^2$ se utilizará más tarde para demostrar la existencia de raíces cuadradas. ¡Así que un argumento con raíces cuadradas aquí sería un razonamiento circular!

Answer 2

Es un error llamar a la prueba "falaz". Los comentarios en el libro de soluciones,

" 41 . ¿Cómo sabemos que $\sqrt{a^2 - \epsilon}$ y $\sqrt{a^2 + \epsilon}$ ¿Existe? En el capítulo 7 demostramos (Teorema 8) que todo número positivo tiene una raíz cuadrada, pero la demostración de este teorema utiliza el hecho de que $f(x)=x^2$ es continua, que es esencialmente lo que estamos tratando de demostrar. De hecho, la existencia de raíces cuadradas es esencialmente equivalente a la continuidad de $f$ --- comparar el problema 8-8"

contienen varios errores.

• La prueba y los cálculos son correctos; el valor declarado de $\delta$ existe y es suficiente para el $\epsilon$ argumento.

• El supuesto problema de asumir la existencia de las raíces cuadradas no deriva de la prueba, sino de la secuencia elegida para el material del libro. Las cantidades con raíces cuadradas sí existen como números reales, y usar esos valores para $\delta$ hace que la prueba funcione.

• La existencia de raíces cuadradas no depende lógicamente de demostrar la continuidad de $f(x)=x^2$ . Otros libros dan el enunciado de existencia como un ejercicio sobre límites mínimos superiores (de las soluciones racionales positivas de $x^2 < a$ ) o como convergencia de la iteración de la raíz cuadrada de Babilonia.

• En las pruebas épsilon-delta, incluyendo la que Spivak escribió para este ejercicio, ecuaciones como $\delta = \min(A,B,C,\dots, K)$ no asumen necesariamente que los límites $A,B,C...$ todas existen. Sólo se requiere que todas las desigualdades $\delta \leq A$ y $\delta \leq B$ puede ser satisfecha de inmediato. Algunos de los límites superiores podrían no existir para todos los valores de $a$ y $\epsilon$ (en este problema, toma $\epsilon > a^2$ y una de las raíces cuadradas se convierte en imaginaria).

• Completar la prueba sin tomar la existencia de raíces como una suposición, no requiere una prueba de existencia para la raíz. Todo lo que necesitamos son soluciones a condiciones como $\delta \leq \sqrt{a^2+\epsilon} - a$ que se puede hacer por medio de la cuadratura,

$(\delta + a)^2 < a^2 + \epsilon$

una desigualdad que es fácil de conseguir con cálculos puramente algebraicos de épsilon-delta. No son necesarias propiedades de los números reales como la convergencia o la exhaustividad.

Answer 3

Esto puede ser sólo tom - tonterías que estoy señalando, pero si $\epsilon > a^2$ entonces no estoy muy seguro de lo que $\delta$ elegirías...

Answer 4

Creo que el problema es que no se puede decir cuál de los dos valores de $\delta$ es el mínimo por lo que no se puede asumir

$ |x - a| < \delta\Longrightarrow \sqrt{a^2 - \epsilon} < x < \sqrt{a^2 + \epsilon} $