Probando dos mcd de igualdad de

Question

Estoy teniendo problemas con un ejercicio de Apostol de la Introducción a la Teoría Analítica de números.

Dado $x$$y$, vamos $m=ax+by$, $n=cx+dy$, donde $ad-bc= \pm 1$. Demostrar que $(m,n)=(x,y)$.

He tratado de dar una prueba, pero sospecho que es malo (o al menos no es muy bueno). Yo estaría muy agradecido por cualquier sugerencias/ayuda/consejos!

Mi prueba:

Podemos observar que, desde $ad-bc= \pm 1$, $ad=bc \pm 1$, y $(ad,bc)=1$. Ahora, $(a,b) \mid m$$(c,d) \mid n$, pero

$$(a,b) = ((d,1)a,(c,1)b)=(ad,a,bc,b)=(ad,bc,a,b)=((ad,bc),a,b)=(1,a,b)=1.$$

Del mismo modo, determinamos $(c,d)=1$. Por eso, $1=(a,b) \mid m$ e $1=(c,d) > \mediados de n$. But $(x,y)$ also divide $m$ and $n$. Since $(x,y) \geq (a,b)=(c,d)=1$, this implies that $(x,y)=m,n$. Por lo tanto $(m,n)=((x,y),(x,y))=(x,y)$.

Answer 1

Aquí es una prueba. Llame a $z=(x,y)$$p=(m,n)$. Las expresiones de $m$ $n$ as integer combinaciones lineales de $x$ $y$ muestran que $z$ divide $m$ $n$ por lo tanto $z$ divide $p$, por definición, de la dpc. Por otro lado, $\pm x=dm-bn$ $\pm y=cm-an$ por lo tanto el mismo argumento que usan "hacia atrás", muestra que $p$ divide $\pm x$$\pm y$, lo que implica que $p$ divide $z$, final de la prueba.

Answer 2

Sugerencia: Cualquier factor común de $x$ $y$ claramente divide tanto a a$m$$n$, porque si $f\mid x$$f\mid y$, $f\mid ax+by$ et cetera.

La tarea a la mano para demostrar que la inversa de hecho: cualquier factor común de $m$ $n$ también se divide $x$$y$. Una manera de ver esto se deduce de la ecuación de matriz $$ \left(\begin{array}{c}m\\n\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right). $$

Hace nada acerca de la condición dada en $ad-bc$ ayudarle con la inversa de la anterior $2\times2$ de la matriz?

Answer 3

SUGERENCIA $\ $ (extraído de mi respuesta a una pregunta similar hace un par de meses)

En general, la inversión de un lineal mapa por la Regla de Cramer (multiplicando por la adjunta) los rendimientos

$$\rm\begin{pmatrix} a & \rm b \\\\ \rm c & \rm d \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} x \\\\ \rm y \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix} X \\\\ \rm Y\end{pmatrix}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \begin{array} \rm\Delta\ x\ \ \ =\ \ \ \rm d\ X - b\ Y \\\\ \rm\Delta\ y\ =\ \rm -c\ X + a\ Y \end{array}\ ,\quad\quad \Delta\ =\ ad-bc\ \ $$

Por lo tanto, $\rm\ n\ |\ X,Y\ \Rightarrow\ n\ |\ \Delta\:x,\:\Delta\:y\ \Rightarrow\ n\ |\ gcd(\Delta\:x,\Delta\:y)\ =\ \Delta\ gcd(x,y)\:.$

Answer 4

SUGERENCIA $\ $ Reducir para el caso de $\:(x,y) = 1\:$ por la cancelación de cualquier dpc. Ahora Bezout del MCD de identidad implica que $\ (x,y) = 1\ $ fib es una columna en una matriz de determinante $1\:.\:$ por lo Tanto

$$(x,y) = 1 \ \Rightarrow\ 1\ = \ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix}\ \begin{vmatrix} x & u \\ y & v \end{vmatrix}\ =\ \begin{vmatrix} a\:x+b\:y & s \\ c\:x+d\:y & t \end{vmatrix} \ \Rightarrow\ (a\:x+b\:y,\ c\:x+d\:y)\ =\ 1$$

La conversación sigue la misma manera, mediante la transformación inversa (o por la facilidad de la aritmética).

Answer 5

Primera nota de que $(x,y)$ divide tanto a a$m$$n$, por lo tanto $(x,y)|(a,b)$. Por lo que es suficiente para mostrar $(a,b)|(x,y)$

Considere la matriz $T=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)$. Por supuesto,$\det T=ad-bc=\pm 1$. Por lo tanto su inversa satisface

$T^{-1}=\pm\left(\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right)$.

Ahora, por definición, de $m$ $n$ hemos

$T\left(\begin{array}{c}x\\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}m\\ n \end{array}\right)$.

Por lo tanto

$\left(\begin{array}{c}x\\ y \end{array}\right)=T^{-1}\left(\begin{array}{c}m\\ n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}dm-bn\\ -cm+an \end{array}\right),$

mostrando que $m$ $n$ brecha $x$$y$.