Demostrando que la combinación de una trayectoria-conectado espacio con un arbitrario espacio es simplemente conectado

Question

Estoy luchando con la siguiente pregunta de Allen Hatcher topología algebraica libro.

Definir la combinación de $X*Y$ de dos espacios topológicos $X$ $Y$ a ser el cociente de $X\times Y \times I$ en las siguientes identificaciones:

$(x,y,0)\equiv (x,y',0)$ todos los $y,y'$ en $Y$ $x\in X$

$(x,y,1)\equiv(x',y,1)$ todos los $x,x'\in X$ $y\in Y$

Por lo $X*Y$ puede ser considerado como la unión de todos los segmentos de recta que unen los puntos de $X$ a los puntos de $Y$.

Estoy tratando de demostrar que si $X$ es la ruta de acceso conectado y $Y$ es cualquier espacio, a continuación, $X*Y$ es simplemente conectado.

Aquí hay dos enfoques que he intentado:

He leído que el unirse a $X*Y$ es homotopy equivalente a la suspensión de la smash producto, $\Sigma( X\wedge Y)$. Así que una posibilidad es la de demostrar que el éxito del producto es el camino-conectado y, a continuación, utilizar la afirmación de que la suspensión de una trayectoria-conectado espacio es simplemente conectado.

Otra posibilidad es mostrar que la combinación es homeomórficos para el subespacio $Cone(X)\times Y\cup X\times Cone(Y)$ del espacio $Cone(X)\times Cone(Y)$. Entonces, si yo podría mostrar que ambos conjuntos en la anterior unión están abiertos (en la unión) y simplemente conectado, y que su intersección es simplemente conectado, van Kampen del teorema implica el resultado.

Mi problema con el primer enfoque es que, hasta donde yo sé, el éxito del producto depende de la elección de los puntos de base, por lo que no estoy siquiera seguro de lo que la frase "el unirse a $X*Y$ es homotopy equivalente a la suspensión de la smash producto, $\Sigma( X\wedge Y)$" realmente significa.

El segundo enfoque parece un poco más atractiva, especialmente dado que el problema aparece en Hatcher del libro en la sección de van Kampen del teorema; pero no sé cómo probar que los conjuntos de$Cone(X)\times Y$ $X\times Cone(Y)$ están abiertos en su unión, ni sé cómo demostrar que son simplemente conectado, a menos que ambos $X$ $Y$ son simplemente conectado.

Cualquier ayuda (incluso para el caso en que $X$ $Y$ son simplemente conectado) sería muy apreciada.

Gracias!

Roy

Answer 1

Deje $(x,y,t),(x',y',t')$ dos puntos en $X*Y$, e $\alpha:[0,1]\to X$ un camino que conecta $x$$x'$. A continuación, definir $$\gamma(s)=\begin{cases} (x,y,(1-3s)t) &\text{if } 0\leq s\leq 1/3\\ (x,y',(3s-1)t') &\text{if } 1/3\leq s\leq 2/3\\ (\alpha(3s-2),y',t') &\text{if } 2/3\leq s\leq 1\\ \end{casos}$$ para obtener una ruta de unirse a $(x,y,t)$$(x',y',t')$. Por lo tanto $X*Y$ es la ruta de acceso conectado.

A ver que $X*Y$ es simplemente conectado, deje $\gamma:[0,1]\to X*Y$ ser una ruta con $\gamma(0)=\gamma(1)$. Escribir $\gamma(s)=(x(s),y(s),t(s))$. Queremos mostrar que $\gamma$ es nulo homotópica. WLOG podemos suponer $\gamma(0)=\gamma(1)=(x,y,0)$. Deje $f(s,r)=(x(s),y(s),rt(s))$$r\in [0,1]$. A continuación, $f$ es un homotopy entre el $\gamma$ $\gamma'$ definido por $\gamma'(s)=(x(s),y,0)$. Podemos entonces definir una homotopy $$g(s,r)=\begin{cases} (x,y,2s) &\text{if } s\leq r/2\\ \left(x\left(\frac{s-r/2}{1-r}\right),y,r\right) &\text{if } r/2< s< 1-r/2\\ (x,y,2-2s) &\text{if } s\geq 1-r/2 \end{casos}$$ entre el $\gamma'$ $\gamma''$ definido por $$\gamma"(s)=\begin{cases} (x,y,2s)&\text{if } s\leq 1/2\\ (x,y,2-2s)&\text{if } s\geq 1/2 \end{casos}$$ lo que es claramente null-homotópica. Componer homotopies muestra que $\gamma$ es nulo homotópica, por lo tanto $X*Y$ es simplemente conectado.