Utilizar el análisis complejo para evaluar $\int_0^\infty\frac{(\ln x)^3}{1+x^2}d x$

Question

Aquí está mi intento:

Dejemos que $R>1>r$ y $C$ sea la curva cerrada en $\mathbb{C}$ consta de las siguientes piezas: $$C_1=\{Re^{it}: t\in(0,\pi)\},\quad C_2=[r,R],\quad C_3=\{re^{it}: t\in(0,\pi)\},\quad C_4=[-R,r]$$ todas las curvas están orientadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Se puede observar que $C$ es el límite de la mitad superior del anillo centrado en $0$ con radio interior $r$ y el radio exterior $R$ . Sea $f(z)=\frac{(\text{Log } z)^3}{1+z^2},\quad Arg(z)\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$ . Entonces $\int_Cf(z)d z=\sum_{i=1}^4\int_{C_i}f(z)d z$ . Tenga en cuenta que $f$ tiene una singularidad $z=i$ dentro de $C$ por lo que por la fórmula integral de Cauchy $$\int_Cf(z)dz=2\pi i\cdot\frac{(\text{Log } i)^3}{i+i}=\pi\left(\ln|i|+\frac{\pi}{2}i\right)^3=-\frac{\pi^4}{8}i$$ Ahora considere $\int_{C_i}f(z)d z$ : $$\begin{aligned}&\left|\int_{C_1}f(z)d z\right|\leq\int_0^\pi\frac{(|\ln R|+|it|)^3}{|1-R^2e^{2it}|}|Re^{it}|dt\leq\int_0^\pi\frac{R(\ln R+t)^3}{R^2-1}|dt\leq \frac{\pi R(\ln R+\pi)^3}{R^2-1} \end{aligned}$$ como $RHS\to 0$ como $R\to+\infty$ tenemos $\lim_{R\to\infty}\int_{C_1}f(z)d z=0$ .

$$\int_{C_2}f(z)d z=\int_r^R\frac{(\ln x)^3}{1+x^2}d x\quad\Rightarrow\quad\lim_{r\to 0^+, R\to+\infty}\int_{C_2}f(z)d z=\int_0^\infty\frac{(\ln x)^3}{1+x^2}d x$$

$$\begin{aligned}&\left|\int_{C_3}f(z)d z\right|\leq\int_0^\pi\frac{(|\ln r|+|it|)^3}{|1+r^2e^{2it}|}|re^{it}|d t\leq\int_0^\pi\frac{r(\ln r+t)^3}{1-r^2}|d t\leq \frac{\pi r(\ln r+\pi)^3}{1-r^2} \end{aligned}$$ como $RHS\to 0$ como $r\to0^+$ tenemos $\lim_{r\to 0^+}\int_{C_3}f(z)d z=0$

$$\begin{aligned}&\int_{C_4}f(z)d z=\int_{[-R,-r]}\frac{(\text{Log } z)^3}{1+z^2}d z=\int_{[-R,-r]}\frac{(\ln|z| +\pi i)^3}{1+z^2}d z=\int_r^R\frac{(\ln x +\pi i)^3}{1+x^2}d x\\ =&\int_r^R\frac{(\ln x)^3}{1+x^2}dx+3\pi i\int_r^R\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}d x-3\pi^2\int_r^R\frac{\ln x}{1+x^2}d x-\pi^3 i\int_r^R\frac{1}{1+x^2}d x\end{aligned}$$

En este punto tengo que evaluar $\int_0^\infty\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}d x$ , lo que puede hacerse mediante un análisis complejo de nuevo. Sin embargo, este método es demasiado largo y, desde mi punto de vista, no es el más eficiente. ¿Existe una forma más corta de hacerlo?

Por cierto, la respuesta es 0.

Answer 1

Con el contorno que utilicé aquí tenemos que $$ \int_0^{\infty}\frac{\log^3(x)}{1+x^2}dx = \int_{\Gamma}f(z)dz + \int_{-\infty}^{-\epsilon}f(z)dz + \int_{\gamma}f(z)dz + \int_{\epsilon}^{\infty}f(z)dz \tag{1} $$ donde $f(z) = \frac{\log^3(z)}{z^2 + 1}$ , $\Gamma$ es un semicírculo grande, y $\gamma$ es un semicírculo pequeño. Al igual que en el post enlazado, tendremos la rama cortada de $(-\infty, 0)$ . Por el lema de estimación, las integrales primera y tercera de $(1)$ son cero. Ahora $$ \log^3(z) = \log^3\lvert z\rvert - 3\arg^2(z)\log\lvert z\rvert + i(3\arg(z)\log^2\lvert z\rvert - \arg^3(z)) $$ Además, estamos tomando el valor principal real de Cauchy de la integral. Con esto en mente y por el teorema del residuo, tenemos \begin{align} \int_{-\infty}^0\frac{\log^3\lvert z\rvert - 3\arg^2(z)\log\lvert z\rvert}{z^2 + 1} dz + \int_0^{\infty}\frac{\log^3\lvert z\rvert - 3\arg^2(z)\log\lvert z\rvert}{z^2 + 1}dz &= \text{Re}\left(2\pi i\sum\text{Res}\right)\\ 2\int_0^{\infty}\frac{\log^3(x)}{x^2 + 1}dz - 3\pi^2\int_0^{\infty}\frac{\log\lvert z\rvert}{z^2+1}dz & = 0\\ \int_0^{\infty}\frac{\log^3(x)}{x^2 + 1}dz&= 0\tag{2} \end{align} donde $(2)$ se produce desde $\int_0^{\infty}\frac{\log\lvert z\rvert}{z^2 + 1}dz = 0$ y el residuo era puramente imaginario por lo que el valor principal real es cero. Utilizando el mismo contorno para $\frac{\log(z)}{z^2+1}$ obtenemos $$ \int_0^{\infty}\frac{\log\lvert z\rvert}{z^2 + 1}dz = 2\int_0^{\infty}\frac{\log\lvert z\rvert}{z^2+1}dz + \int_0^{\infty}\frac{i\pi}{z^2+1}dz = \frac{i\pi^2}{2}\tag{3} $$ De nuevo, buscamos el valor principal real de Cauchy por lo que $(3)$ se convierte en $$ \int_0^{\infty}\frac{\log\lvert z\rvert}{z^2+1}dz = 0 $$

Answer 2

No es necesario utilizar la integral de contorno para evaluar. De hecho, puedes dividir la integral en dos partes $$ \int_0^\infty \frac{\ln^3x}{x^2+1}dx=\int_0^1 \frac{\ln^3x}{x^2+1}dx+\int_1^\infty \frac{\ln^3x}{x^2+1}dx.$$ Para la segunda parte, utilice el sustituto $x=\frac1u$ para obtener $$ \int_1^\infty \frac{\ln^3x}{x^2+1}dx=-\int_0^1 \frac{\ln^3u}{u^2+1}du. $$ Por lo tanto, $$ \int_0^\infty \frac{\ln^3x}{x^2+1}dx=0.$$