¿$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f(x)+f(f(x))=x^2$ % todo $x$?

Question

Un amigo vino con este problema, y nosotros y un par de otros trataron de resolverlo. Resultó ser muy duro, así que uno de nosotros le preguntó a su profesor. Llegué con él, y me tomó, él y el profesor de alrededor de una hora para decir algo interesante sobre ella.

Hemos descubierto que para los positivos $x$, asumiendo $f$ existe y es diferenciable, $f$ es monótonamente creciente. (Diferenciando ambos lados da $f'(x)*[\text{positive stuff}]=2x$). Por lo $f$ es invertible allí. También hemos descubierto que el f se hace arbitrariamente grande, y nos imaginamos que crece más rápido que cualquier función lineal. Conectar $f{-1}(x)$ $x$ da $x+f(x)=[f^{-1}(x)]^2$. Desde $f(x)$ crece más rápido que $x$, $f^{-1}$ crece más lento y, por tanto,$f(x)=[f^{-1}(x)]^2-x\le x^2$.

Por desgracia, eso es todo lo que sabemos... nadie sabía cómo lidiar con la $f(f(x))$ plazo. Ni siquiera sabemos si la ecuación tiene una solución. ¿Cómo se puede resolver este problema, y ¿cómo se puede lidiar con la repetición de la función de las aplicaciones en general?

Answer 1

Algunas observaciones (sin asumir la diferenciabilidad):

En primer lugar, monotonía en la izquierda y la mitad derecha de la línea no requiere la diferenciabilidad. Observar que si existe $x_0, y_0\in\mathbb{R}$ tal que $f(x_0) = f(y_0)$, entonces necesariamente $f(f(x_0)) = f(f(y_0))$ y, por tanto,$x_0^2 = y_0^2$. Por lo que esto implica que $f$ es inyectiva entre el positivo (negativo) de los números. Si se supone que estamos buscando continua de soluciones, esto también implica que $f$ es monótona en la región de que se trate. También, uno tiene que $f(x)$ no puede ser delimitada de arriba trivialmente porque $x^2$ no está delimitado desde arriba.

Siguiente, se observa que un punto fijo de $f$ sólo puede ser $f(x) = x \implies 2x = x^2$, lo que significa que la única manera posible de puntos fijos de $f$$0$$2$. A lo largo de las mismas líneas, obtenemos que para un continuo de solución, $f(0) \geq 0$: asumir el contrario, a continuación,$f(0) = y < 0$. Hemos funcional de la ecuación de $f(y) = -y > 0$, de modo que por la continuidad existe alguna $y' < 0$ tal que $f(y') = 0$. Pero esto significa que $f(y') + f(f(y')) = f(0) = y'^2 > 0$, una contradicción.

Tercero, aún suponiendo que $f$ es continuo, nos preguntamos si $f$ puede ser limitada, ya sea de la mitad de las líneas. La respuesta es no, ya que se contradicen necesariamente la ecuación funcional. Por lo tanto $f(x)$ debe ser ilimitado en cada mitad de la línea. Usando ese $f(x)$ debe ser ilimitado de arriba, tenemos que hay tres casos: $f(+\infty) < 0$, $f(-\infty) < 0$, o ninguno de los dos. (No puede ser, porque de monotonía.)

El segundo caso se puede descartar, como muy negativo $M$, obtendríamos $f(M) < 0$, lo $f(f(M)) < f(0)$, y contradiciendo el funcional de la ecuación. El tercer caso también será descartada si $f(0) \neq 0$. Por los anteriores argumentos $f(0)$, si no de cero, debe ser positivo, esto implica que $f(f(0)) < 0$ $f$ no puede ser monótona creciente en la línea de la derecha.

En el primer caso, tenemos que la monotonía y el ilimitado implica existe $M > 0$ que si $|x| > M$, $x f(x) < 0$ (de hecho, el uso de $f(0) + f(f(0)) = 0$, uno puede tomar la $M= |f(0)|$). En particular, esto significa que para $x < -M$, $f(f(x)) < f(0) < f(x) \implies f(x) \geq x^2 / 2$. Pero podemos asumir (por la elección de un mayor $M$ si es necesario) que $M > 2$, lo que implica que $f(x) > M$, lo que implica que, de hecho,$f(f(x)) < 0$$x < -M$. Y, por tanto, $f(x) \geq x^2$ si $x < -M$. Esto implica que para suficientemente grande y positivo $x$, $x^2 = f(f(x))+ f(x) \geq f(x)^2 + |f(x)|$. Esto implica que para suficientemente grande y positivo $x$, $|f(x)| < x$.

En el tercer caso, la monotonía y la positividad se garantiza que $f(x) < x^2$$x > 0$. Y dado una solución en la mitad derecha de la línea, la configuración de $f(x) = f(-x)$ en la mitad izquierda de la línea da automáticamente un continuo de solución. Además, podemos mostrar que $f(x)$ no puede ser $O(x^\alpha)$ cualquier $\alpha < \sqrt{2}$. (Suponga el contrario, para todos lo suficientemente grande $x$ tenemos $f(x) + f(f(x))\leq C x^{(\alpha^2)}$ por una constante universal de $C$, y así se contradice con la funcional de la ecuación.) Del mismo modo $f(x)$ no puede estar acotada por debajo, asintóticamente, por cualquier $\beta x^\alpha$$\alpha > \sqrt{2}$.

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Por CIERTO, no creo que su argumento de que "si $f$ es diferenciable que $f(x)$ debe ser el aumento de positivos $x$" es correcta. Se utiliza el hecho de que $f(x)$ es arbitrariamente grande (y positivo) en algún lugar. Pero no tiene que ser tan positivos $x$: en este paso usted está haciendo la suposición de que $f:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, lo cual no es necesariamente cierto.

Answer 2

Aquí hay algo: iteración

$$f_0(x):=0, \quad f_{n+1}(x):= x^2-f_n\bigl(f_n(x)\bigr)$$

se obtiene una secuencia de polinomios cuyos términos menores estabilizar en

$$x^2-x^4+2x^6-4x^8+8x^{10}-16 x^{12}+32 x^{14}-65 x^{16}+\ldots-17316 x^{28} +\ldots\ .$$

La secuencia de los coeficientes así obtenidos (aparte de la muestra) se encuentra listada aquí: OEIS, pero no podemos hacer nada fuera de la explicación dada allí.

Answer 3

EDIT: el primer par de veces he intentado publicar esta respuesta, se negó. Resulta que hay 30.000 caracteres máximo para las respuestas, probablemente para preguntas. Así que corté la tabla de abajo, que anteriormente era de $ 5 \geq x \geq -1.$

ORIGINAL: Bien, fue divertido. No estoy seguro de cómo hacer tu problema real, en vez de eso, he resuelto más fácil $$ f(f(x)) = x + x^2,$$ by a little-known procedure due to J. Ecalle, about 1973. The method is described in a book by M. Kuczma, B. Chococzewski, R. Ger, called Iterative Functional Equations. I give the value of $f(x)$ for $ 3 \geq x \geq -1.$

The basic task, once each on either side of $0,$ is to find a Fatou coordinate $\alfa$ that solves $$ \alpha(h(x)) = \alpha(x) + 1,$$ where in this case we take $h(x) = x + x^2.$ Then we find the desired $f$ por tomar $$ f(x) = \alpha^{-1} \left( \frac{1}{2} + \alpha(x) \right).$$ Note that it is necessary to find the inverse function of $\alfa.$ I did this by a numerical bisection, and I'm afraid that I wrote it assuming $\alfa$ was decreasing, so for this output I had to use $-\alpha$ and subtract $1/2$ instead of add it, things like that. The inverse function is the easiest part mathematically but the worst part of the program.

Anyway, if you simultaneously graph, on the same xy-axes, $(x,x + x^2)$ along with the diagonal line $(x,x)$ and the new curve $(x,f(x)),$ well, it is a nice picture. I have a website with all the relevant background, but the host computer is down for another few weeks.

Note that, by nature, this extends to a holomorphic function on a narrow open set containing the positive reals, another containing the interval $(-1,1),$ a third containing $(-\infty, -1).$ However, the function is probably only $C^\infty$ at $-1$ and $0.$

EDIT TOO: Note that the symmetry $h(-1-x) = h(x)$ carries over to the "answer" $f(x),$ so we know what we have once we know $f(x),$ or how to calculate $f(x),$ for $x \geq \frac{-1}{2}.$ En esa nota, ahora nos encontramos con $ f(\frac{-1}{2}) \approx -0.308725 < \frac{-1}{4} = h(\frac{-1}{2}),$ que es como debe ser, $f(x)$ debe ser de entre $x$ $h(x).$ Lo que hemos hecho, con éxito, excepto por no ser analítica a lo largo de toda la línea (y no definibles en los barrios de $0$ o $-1$$\mathbb C$) es producir una parametrización de la familia de la interpolación de funciones, $$ h_t(x) = \alpha^{-1} \left( t + \alpha(x) \right).$$ La definición de propiedades de la se $$h_0(x) = x, \; \; h_1(x) = h(x), \; \; h_{s+t}(x) = h_s(h_t(x)) = h_t(h_s(x)). $$ Así que, simplemente, se llevó $f = h_{1/2}.$ La razón de esta familia en particular, se considera un fracaso, desde el punto de vista de Irvine Noel Baker (1932-2001), es precisamente el hecho de no ampliar a un conjunto abierto en $\mathbb C,$ causado por problemas en la $-1$ $0.$ nota Final, si este negocio realmente funciona como Irvine intención, uno también puede producir en el complejo de los parámetros de $t.$ Esto es raro. El único ejemplo que conozco es el de la familia de transformaciones de Moebius, $$ h_t(z) = \frac{z}{1+ t z}.$$ Of course, given some holomorphic $\omega(z)$ with $\omega(0)=0$ and $\omega'(0)=1,$ one obtains a superficially different example $ H_t(z) = \omega^{-1}( h_t(\omega(z))).$

As was pointed out in a comment, there is an explicit solution to $g(g(x)) = x^2$ given by $g(x) = |x|^{\sqrt 2}.$ It is likely that our $f(x)$ es cerca de $|x|^{\sqrt 2}$ grandes $|x|.$ siempre es posible que nuestro $f(x)$ tiene una fórmula explícita, no verifiqué que cuidadosamente, ya que no me esperaba.

En caso de interés, por correo electrónico a mí. Sé que las cosas.

x           alpha(x)      f(x)        f(f(x))   f(f(x)) - (x + x^2)
3.000000   -0.101309    5.447411    12.000000    -3.89775e-10
2.990000   -0.098108    5.423742    11.930100    5.07214e-09
2.980000   -0.094892    5.400101    11.860400    -1.10352e-09
2.970000   -0.091660    5.376488    11.790900    9.5132e-09
2.960000   -0.088411    5.352904    11.721600    -1.51e-08
2.950000   -0.085146    5.329349    11.652500    -1.76893e-10
2.940000   -0.081865    5.305822    11.583600    -1.56864e-09
2.930000   -0.078567    5.282324    11.514900    1.1039e-09
2.920000   -0.075252    5.258855    11.446400    -6.60402e-09
2.910000   -0.071920    5.235415    11.378100    1.83272e-08
2.900000   -0.068572    5.212003    11.310000    6.31031e-09
2.890000   -0.065206    5.188620    11.242100    -7.84935e-09
2.880000   -0.061823    5.165266    11.174400    4.82576e-09
2.870000   -0.058422    5.141941    11.106900    3.31783e-10
2.860000   -0.055004    5.118646    11.039600    2.35487e-09
2.850000   -0.051567    5.095379    10.972500    2.28822e-09
2.840000   -0.048113    5.072141    10.905600    -2.35738e-09
2.830000   -0.044641    5.048933    10.838900    1.52213e-08
2.820000   -0.041150    5.025754    10.772400    -8.93154e-09
2.810000   -0.037641    5.002604    10.706100    -4.66779e-09
2.800000   -0.034113    4.979483    10.640000    3.93858e-10
2.790000   -0.030567    4.956392    10.574100    9.60916e-09
2.780000   -0.027001    4.933330    10.508400    6.95821e-10
2.770000   -0.023416    4.910298    10.442900    -1.74676e-10
2.760000   -0.019812    4.887296    10.377600    6.04472e-09
2.750000   -0.016189    4.864323    10.312500    -6.78922e-09
2.740000   -0.012545    4.841379    10.247600    3.59014e-09
2.730000   -0.008882    4.818466    10.182900    -5.07475e-09
2.720000   -0.005198    4.795582    10.118400    5.82313e-09
2.710000   -0.001495    4.772728    10.054100    4.54672e-09
2.700000   0.002229    4.749904    9.990000    1.92885e-11
2.690000   0.005974    4.727110    9.926100    1.17165e-09
2.680000   0.009740    4.704346    9.862400    -1.02179e-09
2.670000   0.013527    4.681612    9.798900    1.49861e-09
2.660000   0.017335    4.658908    9.735600    3.89245e-10
2.650000   0.021164    4.636234    9.672500    1.00368e-08
2.640000   0.025016    4.613590    9.609600    -6.6567e-09
2.630000   0.028889    4.590977    9.546900    3.70571e-09
2.620000   0.032784    4.568394    9.484400    1.38761e-08
2.610000   0.036702    4.545842    9.422100    -4.83761e-09
2.600000   0.040642    4.523320    9.360000    9.87709e-09
2.590000   0.044605    4.500828    9.298100    9.348e-09
2.580000   0.048591    4.478368    9.236400    -2.90049e-09
2.570000   0.052600    4.455937    9.174900    -5.91812e-09
2.560000   0.056633    4.433538    9.113600    7.64032e-10
2.550000   0.060689    4.411169    9.052500    1.4757e-09
2.540000   0.064770    4.388831    8.991600    -6.12545e-10
2.530000   0.068875    4.366524    8.930900    9.22328e-09
2.520000   0.073004    4.344248    8.870400    6.82412e-09
2.510000   0.077158    4.322003    8.810100    3.96887e-10
2.500000   0.081336    4.299789    8.750000    -2.99742e-10
2.490000   0.085540    4.277606    8.690100    8.97266e-09
2.480000   0.089770    4.255454    8.630400    9.81059e-11
2.470000   0.094025    4.233334    8.570900    4.32604e-10
2.460000   0.098307    4.211245    8.511600    -3.40024e-11
2.450000   0.102614    4.189187    8.452500    -2.69127e-09
2.440000   0.106949    4.167161    8.393600    3.91647e-09
2.430000   0.111310    4.145166    8.334900    7.10094e-09
2.420000   0.115698    4.123203    8.276400    -9.34695e-09
2.410000   0.120114    4.101272    8.218100    -2.39256e-09
2.400000   0.124557    4.079372    8.160000    -2.51499e-09
2.390000   0.129029    4.057504    8.102100    -1.53317e-09
2.380000   0.133529    4.035668    8.044400    -7.4922e-11
2.370000   0.138057    4.013864    7.986900    1.24882e-09
2.360000   0.142615    3.992091    7.929600    -1.44446e-09
2.350000   0.147202    3.970351    7.872500    -1.58503e-10
2.340000   0.151818    3.948643    7.815600    -5.74248e-09
2.330000   0.156465    3.926967    7.758900    2.86983e-09
2.320000   0.161141    3.905323    7.702400    6.34277e-10
2.310000   0.165849    3.883712    7.646100    1.91794e-09
2.300000   0.170587    3.862133    7.590000    -6.59022e-09
2.290000   0.175357    3.840587    7.534100    2.98792e-09
2.280000   0.180158    3.819073    7.478400    -9.48332e-10
2.270000   0.184992    3.797591    7.422900    -3.32311e-09
2.260000   0.189858    3.776143    7.367600    -8.03366e-10
2.250000   0.194756    3.754727    7.312500    -1.0734e-09
2.240000   0.199688    3.733344    7.257600    -1.27912e-10
2.230000   0.204654    3.711993    7.202900    6.48889e-09
2.220000   0.209653    3.690676    7.148400    -3.59193e-09
2.210000   0.214687    3.669392    7.094100    -3.15102e-10
2.200000   0.219755    3.648141    7.040000    3.13407e-10
2.190000   0.224859    3.626923    6.986100    -1.07361e-09
2.180000   0.229998    3.605738    6.932400    -3.69792e-09
2.170000   0.235174    3.584587    6.878900    -7.75705e-10
2.160000   0.240386    3.563469    6.825600    4.24772e-10
2.150000   0.245634    3.542384    6.772500    -1.96853e-10
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-0.500000   -1.767994    -0.308725    -0.250000    -3.19744e-14
-0.510000   -1.769116    -0.308548    -0.249900    -2.37684e-16
-0.520000   -1.772489    -0.308018    -0.249600    9.71632e-15
-0.530000   -1.778133    -0.307136    -0.249100    1.20984e-14
-0.540000   -1.786084    -0.305906    -0.248400    -1.9681e-16
-0.550000   -1.796391    -0.304333    -0.247500    -5.85309e-15
-0.560000   -1.809117    -0.302423    -0.246400    2.235e-15
-0.570000   -1.824343    -0.300182    -0.245100    3.11729e-14
-0.580000   -1.842165    -0.297619    -0.243600    9.90638e-15
-0.590000   -1.862701    -0.294741    -0.241900    2.38421e-15
-0.600000   -1.886083    -0.291557    -0.240000    1.50102e-15
-0.610000   -1.912470    -0.288077    -0.237900    7.25678e-15
-0.620000   -1.942042    -0.284311    -0.235600    2.67569e-14
-0.630000   -1.975007    -0.280268    -0.233100    3.86851e-14
-0.640000   -2.011601    -0.275957    -0.230400    -6.69652e-15
-0.650000   -2.052097    -0.271388    -0.227500    3.98259e-14
-0.660000   -2.096803    -0.266571    -0.224400    1.48276e-14
-0.670000   -2.146072    -0.261515    -0.221100    -5.32698e-14
-0.680000   -2.200309    -0.256227    -0.217600    -1.52521e-14
-0.690000   -2.259973    -0.250718    -0.213900    2.2299e-14
-0.700000   -2.325595    -0.244994    -0.210000    3.09619e-14
-0.710000   -2.397782    -0.239063    -0.205900    3.63121e-15
-0.720000   -2.477235    -0.232933    -0.201600    2.55721e-14
-0.730000   -2.564767    -0.226611    -0.197100    -9.79696e-15
-0.740000   -2.661319    -0.220102    -0.192400    4.10549e-15
-0.750000   -2.767994    -0.213414    -0.187500    3.33067e-15
-0.760000   -2.886083    -0.206552    -0.182400    -1.21215e-14
-0.770000   -3.017112    -0.199520    -0.177100    7.48701e-15
-0.780000   -3.162894    -0.192326    -0.171600    1.24182e-14
-0.790000   -3.325595    -0.184972    -0.165900    2.39883e-14
-0.800000   -3.507828    -0.177464    -0.160000    -7.54063e-15
-0.810000   -3.712771    -0.169806    -0.153900    3.09654e-15
-0.820000   -3.944323    -0.162002    -0.147600    6.16185e-15
-0.830000   -4.207319    -0.154056    -0.141100    -5.45023e-15
-0.840000   -4.507828    -0.145970    -0.134400    3.78755e-15
-0.850000   -4.853567    -0.137750    -0.127500    1.96643e-14
-0.860000   -5.254493    -0.129397    -0.120400    1.37583e-14
-0.870000   -5.723678    -0.120915    -0.113100    2.8032e-16
-0.880000   -6.278611    -0.112307    -0.105600    -1.36641e-14
-0.890000   -6.943230    -0.103575    -0.097900    3.46728e-16
-0.900000   -7.751164    -0.094721    -0.090000    -7.42516e-15
-0.910000   -8.751164    -0.085749    -0.081900    -1.45272e-15
-0.920000   -10.016611    -0.076661    -0.073600    -3.05214e-15
-0.930000   -11.663224    -0.067458    -0.065100    1.9874e-15
-0.940000   -13.884541    -0.058142    -0.056400    -5.44974e-16
-0.950000   -17.030149    -0.048717    -0.047500    -3.54382e-15
-0.960000   -21.801682    -0.039183    -0.038400    9.62772e-17
-0.970000   -29.842086    -0.029543    -0.029100    3.2699e-15
-0.980000   -46.098113    -0.019798    -0.019600    5.9771e-15
-0.990000   -95.399864    -0.009950    -0.009900    1.11234e-15 
-1.000000     0.000000     0.000000     0.000000       0.000000
 x           alpha(x)       f(x)        f(f(x))      f(f(x)) - (x + x^2) 

Answer 4

Tengo una estrategia para demostrar que no es una función de $f$$[0,2] \to [0,2]$. Curiosamente, visualmente parece que esta función puede ser única!

Deje $S$ ser el cuadrado de $[0,2] \times [0,2]$. Definir $\sigma : S \to S$$\sigma: (x,y) \mapsto (\sqrt{x+y}, x)$.

Deje $f$ ser los estrictamente creciente en función $[0,2] \to [0,2]$ y deje $\Gamma$ ser la gráfica de $f$.
Lema: La función de $f$ obedece a la necesaria recursividad si y sólo si $\sigma(\Gamma) = \Gamma$.

Prueba: Supongamos que $f$ obedece a la necesaria recursividad. En primer lugar comprobar que $\sigma(\Gamma) \subseteq \Gamma$. Deje $(x,f(x)) \in \Gamma$. Desde $f$ es stricty en aumento, hay algunos $x' \in [0,2]$$f(x') = x$. A continuación, $f(x') + f(f(x'))= (x')^2$ o $x+f(x)=(x')^2$, lo $x' = \sqrt{x+f(x)}$$f(x') = x$. Vemos que $\sigma(x,f(x)) = (x', f(x')) \in \Gamma$ como se desee.

Ahora podemos comprobar que $\Gamma \subseteq \sigma(\Gamma)$. De nuevo, deje $(x,f(x)) \in \Gamma$. Entonces nosotros, igualmente,$\sigma(f(x), f(f(x)) )=(x,f(x))$.

Por último, supongamos que el $\sigma(\Gamma) = \Gamma$ para un aumento de $f$. Entonces, para cualquier $x \in [0,2]$, tendríamos $(x,f(x)) = \sigma(y, f(y))$ algunos $y$. Pero, a continuación, $y=f(x)$ $x = \sqrt{y+f(y)}$ o $x = \sqrt{f(x)+f(f(x))}$ como se desee. $\square$

Así que tenemos que encontrar un camino de $\Gamma$, que es una gráfica de una función creciente, y se toma a sí mismo por $\sigma$. Claramente una condición necesaria es que la $\Gamma \subset \sigma^k(S)$ por cada $k$.

Aquí está una parcela de $\sigma^k(S)$ $k=0$, $1$, ..., $6$.

Cada una de las $\sigma^k(S)$ está delimitado entre las gráficas de dos funciones definidas a trozos suave funciones, y que incluso parecen por Lipshcitz con una constante y uniforme para $k\geq 1$. Mi intuición es que, en ese caso, siempre debe existir un camino entre ellos. No he descubierto cómo hacer este preciso todavía; yo estoy publicando en caso de que alguien más lo sabe.

El realmente ingenioso cosa es que no se parece a $\bigcap_k \sigma^k(S)$ podría ser en sí mismo un camino! En el que caso de $f$ es único! I 'm a poner esta imagen ahora, para tratar de emocionar a la gente a que lo pruebe.

Answer 5

Un no-negativos solución para $x \geq 0$ se extiende a todas las $x$$f(|x|)$. A continuación voy a considerar sólo las soluciones de este tipo.

Un no-negativa continua de la solución en $[0,+\infty)$ es inyectiva y sin límite de positivos $x$, y por lo tanto aumentando, con $f(\infty)=\infty$ un punto fijo para $f$.

Definir un operador $G$ en funciones por $G(f)=f(x)+f(f(x))$.

$f_0(x)=x^{\sqrt{2}}$ casi satisface la ecuación, para un gran$x$,$G(f_0) = x^2 + x^{\sqrt{2}} = x^2 + o(x^2)$.

Una corrección $f_1(x) = x^\sqrt{2} - px^q$ se puede encontrar, con constantes $p$ $q$ elegido únicamente para cancelar la $x^\sqrt{2}$ plazo para que las $G(f_1)=x^2 + O(x^a)$$a < \sqrt{2}$, para un gran $x$. El proceso se puede repetir para obtener un asintótica de la serie con los exponentes $\Bbb{Q}(\sqrt{2})$. Es razonable suponer que estos son los asymptotics para un gran $x$, pero probando el caso más sencillo,$\lim f(x)x^{-\sqrt{2}}=1$, o que existe al menos una solución con ese comportamiento, es un problema difícil. El más simple funcional de la ecuación de $F(F(x))=x^2$ ha liso soluciones no asintótica $x^\sqrt{2}$.

Si hay otros puntos fijos de $f(x)$ ocurren en $0$ o $2$.

La solución de la serie con punto fijo en$x=0$$f(x)=x^2 - x^4 + 2x^6 - 4x^8 + 8x^{10} - 16x^{12} + 32x^{14} - \dots$, pero por desgracia el siguiente coeficientes se $65, -138, 316$ y OEIS ha catalogado ( http://oeis.org/A141366 ) con los datos que sugieren que la serie no aumente de forma muy rápida y puede tener un valor distinto de cero radio de convergencia (menos de 1/(2.9)). La relación de los adyacentes coeficientes aumenta de 2 a casi 3 sobre el primero de varios cientos de términos así que por supuesto que también podría aumentar sin límite.

El poder formal de la serie de solución con punto fijo $x=2$ ha irracional de los coeficientes. Comienza $f(2+t) = 2 + at + O(t^2)$ donde $a= \frac{\sqrt{17}-1}{2}$ y el mayor grado coeficientes son en $\Bbb{Q}(a)$.