Sugerencias sobre cómo demostrar la siguiente igualdad. $a^{m+n}=a^m a^n$

Question

Dejemos que $a$ sea un número no nulo y $m$ y $n$ sean números enteros. Demuestra la siguiente igualdad: $a^{m+n}=a^{m}a^{n}$

No sé muy bien en qué dirección ir. No estoy seguro de si necesito mostrar para $n$ positivo y negativo por separado o hay una manera más fácil. ¿Se puede utilizar la inducción en los números enteros?

Mi intento: 1) Caso base $m=0$ . Demostrar que $a^{m+n}=a^m a^n$ . Es cierto.

2) Supongamos que el resultado es válido para $m$ . Así que quiero demostrar que es válido para $m+1$ . Así que sé que $a^{m+n}=a^ma^n$ . Entonces, ¿esto implica que: $a^{m+n+1}= a^{m+1+n}= a^{m+1}a^n$ ? ¿Voy en la dirección correcta? No estoy seguro de qué hacer a continuación...

Answer 1

Como menciono en el comentario, se necesita alguna definición de $a^n$ para empezar. Resulta que $a^n: \mathbb{R}\setminus\{0\} \times \mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ es únicamente determinado por la especificación de las relaciones

• $a^1 = a$ ;
• $a^n = a\cdot a^{n-1}$ .

(¿Ves por qué son necesarias ambas cosas?)

Como primer dato, $a^1 = a\cdot a^0$ que muestra que para $a\neq 0$ , $a^0 = 1$ .

Ahora podemos demostrar su teorema, ya que $n\geq 0$ por inducción en $n$ .

Caso base: $n=0$ . Entonces $a^{m+n} = a^{m+0} = a^m = a^m \cdot 1 = a^m a^0 = a^m a^n.$

Caso inductivo: supongamos que $a^{m+n} = a^ma^n.$ Entonces $$a^{m+(n+1)} = a^{(m+n)+1} = a\cdot a^{m+n} = a\cdot a^ma^n = a^m(a\cdot a^n) = a^m(a^{n+1}).$$

Como se menciona en los comentarios, ahora hay que demostrar que la relación también es válida para $n<0$ . Dejaré que lo intentes por tu cuenta por ahora.

EDIT: Fíjate que he agrupado muchos pasos "obvios" que implican la conmutatividad y la asociatividad de la suma y la multiplicación, más de lo que se debería para una demostración de este nivel. Merece la pena repasar la demostración en pasos muy cuidadosos y anotar dónde y cómo se utilizan todos los axiomas de la aritmética; así se entiende mejor cuándo y cómo se rompe el teorema para, por ejemplo, la exponenciación de la matriz.

Answer 2

Quieres mostrar que $$a^{m+n}=a^{m}a^n$$ para $m,n\in\Bbb Z$ . Haré el caso $m,n\geq 0$ . Supongo que define $a^n$ recursivamente como $$a^0=1\\a^n=a\cdot a^{n-1}$$

Ahora, fijar $n$ . Introducimos en $m$ . Para $m=0$ el resultado es verdadero, ya que $a^0:=1\;,\;n+0=n$ Por lo tanto, supongamos que el resultado es verdadero para $m$ es decir, asumir $a^{m+n}=a^ma^n$ se mantiene. Ahora $$a^{m+n+1}:=a\cdot a^{m+n}=^{*}a\cdot a^ma^n=a^{m+1}a^n $$

donde en $*$ utilizamos la hipótesis inductiva. Dado que $n$ era arbitraria, el resultado es el siguiente.