Libro de texto de la solución
La primera cosa a hacer es definir el centro de masa y coordenadas relativas:
$$ R(t) = {m_1 r_1 + m_2 r_2 \over m_1 + m_2} $$
$$ r(t) = r_2 - r_1 $$
Invertir esta a encontrar
$$ r_1= R - {m_2\over M} r$$
$$r_2=R+ {m_1\over M} r$$
La ecuación de movimiento para R es trivial, ya que el centro de masa es una ley de la conservación:
$$ {d^2 R \over dt^2 } = 0 $$
y es resuelto por $$ R(t) = V_0 t + R_0 $$ where $V_0$ and $R_0$ son el centro inicial de la masa de la velocidad y la posición respectivamente (que se calcula a partir de la dada las condiciones iniciales).
El trivial de la ecuación es para la coordenada relativa:
$$ m {d^2 r \over dt^2} = - {M r\over |r|^3}$$
Donde $M=m_1 + m_2$ es la masa total, y m es la reducción de la masa:
${1\over m} ={1\over m_1} + {1\over m_2}$
El problema se reduce a resolver el Kepler de movimiento en un 1/r potencial. A partir de ahora, voy a cambiar la escala de tiempo para hacer la masa de parámetros en el r de la ecuación 1.
Usted puede elegir el eje x a la mentira a lo largo de la inicial r, y el eje y que se encuentran a lo largo de la componente de la inicial $\dot{r}$ perpendicular a la inicial r. Otra forma de decir esto es que usted gire las coordenadas para hacer que el momento angular del vector $r\times p$ donde $p=m\dot{r}$ a que se encuentran a lo largo del eje z. Esta rotación reduce el problema a un plano, y la matriz de rotación columnas están dadas por la normalizado inicial r (ahora a lo largo del eje x), la componente de la velocidad inicial perpendicular a r, normalizada (a lo largo del eje y), y se normalizó L a lo largo del eje z.
A continuación, utilizar las unidades para establecer el total de más de reducción de la masa a 1, y el uso de coordenadas polares en el plano x-y de la moción, y tenga en cuenta que el momento angular es constante:
$$ r^2 {d\theta\over dt} = L $$
Esto indica que la igualdad de las áreas que son arrastrados por el r-vector en tiempos iguales. La ecuación de movimiento para r(t), ya no es un vector, ahora un escalar radial de coordenadas) es:
$$ {d^2 r \over dt^2} = {L^2 \over r^3} - {1 \over r^2} $$
A continuación, cambia de tiempo para $\theta$, expresando todo en términos de $r(\theta)$, lo que se puede hacer usando el área igual a la de la ley, siempre que el anguar impulso es distinto de cero (si el momento angular inicial es cero o muy cercano a cero, este es un one-dimensional de dos cuerpos problema que puede ser resuelto directamente por los más elementales medios). La ecuación de movimiento para $r(\theta)$ simplifica cuando usted hace una transformación de coordenadas a $u={1\over r}$:
$$ {d^2 u \over d\theta^2} = C - u $$
Donde C es cierta importancia constante, y esto es resuelto por
$$u(\theta) = {1\over A} (1 + a \cos(\theta -\theta_0)) $$
Donde a es el semieje mayor de la elipse (si la órbita es una elipse), $\theta_0$ determina la orientación en el plano x-y, y es la excentricidad de la elipse (si a<1), o determina el ángulo de la hipérbola (si a>1) o te dice que la órbita es una parábola (a=1).
el único resultado que necesita es que
$$ r(\theta) = {A\over 1+ a\cos(\theta-\theta_0)} $$
Esto le da la solución de r como una función de la $\theta$, lo que le da la forma de la órbita. Aquí es donde los libros de texto de parada.
Búsqueda de $\theta$ como una función de la $t$
Pero, a continuación, desea que la solución para $\theta$ como una función del tiempo, para obtener la r y $\theta$ como funciones del tiempo. Esto se determina a partir del área de la ley, conceptualmente:
$$ r^2 {d\theta\over dt} = L$$
$$ {d\theta \over (1+ a \cos(\theta-\theta_0))^2 }= {L \over A^2} dt $$
y la integración de este a partir del tiempo 0 al tiempo t, se dice que en principio lo $\theta(t)$ es. El resultado puede ser escrito como:
$$ F(a,\theta) = F(a,\theta_0) + {L\over A^2} t $$
Donde $F(a,\theta)$ es la función especial que le da el área de una sección cónica de un parámetro, en una cuña desde el enfoque donde la mitad de la línea a lo largo del eje principal, y la otra mitad de la línea que hace un ángulo de $\theta$ con la primera. Esta función especial no es expresable en términos de funciones elementales.
Esta función está definida por la integral anterior, y se puede calcular numéricamente utilizando cualquier método de integración numérica. Encontrar esta función, y la inversión, es la única parte difícil de este problema. Hay tres límites que son necesarios para las perturbaciones:
- para a=0, $ F(0,\theta) = \theta$
- para a=1, $ F(1,\theta) = {y\over 4} + {y^3\over 12} $ donde $y=r\sin{\theta} = {\sin(\theta)\over 1+\cos(\theta)}$
- para $a=\infty$, $ F(a,\theta) \approx {1\over a} \tan(\theta) $
Cada uno de estos son primarias degeneraciones: el primero es el círculo, el segundo es el de la parábola, y la tercera es una línea recta. Lo importante es que cada una de estas degeneraciones le da x(t) y y(t), que son sencillas, y además, pueden perturbar alrededor de cada uno de estos tres límites de una forma agradable. En la siguiente, el parámetro t se ajustaron para absorber ${L\over A^2}$
- círculo: $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \sin(t)$
- parábola: $y(t)= (\sqrt{1+36t^2} + 6t)^{1\over 3} - (\sqrt{1+36t^2} - 6t)^{1\over 3} $ $x(t) = {1\over 2} - {y^2\over 2} $
- línea: $x(t) = {1\over a}$, $y(t) = t$
La línea y el círculo son obvias, la parábola se encuentra invirtiendo el cúbicos para y como una función de t mediante la ecuación cúbica.
Cerca de el círculo, el tiempo es periódica con el periodo orbital, que es el área dentro de la elipse $aA^2$ dividido por el área de barrido de la tasa de $L/2$. Así que usted tiene una vez de devanado de la función de un círculo en un círculo, que puede ser escrita como una serie de Fourier con un término lineal, que se encuentra a partir de la energía de la serie de el integrando en una, integrado término por término. Cerca de la línea recta a la hipérbola, del mismo modo se puede perturbar en una serie, y el único interesante es la degeneración parábola. Cerca de la parábola, la teoría de la perturbación es un poco más complicado.
