El Hasudorff medida de un conjunto $A\subset \mathbb R^n$ se define como
$$ \mathcal H^s(A) = \lim_{\delta\downarrow 0} \mathcal H^s_\delta(A)$$
donde
$$\mathcal H^s_\delta(A) = \inf\left\{\sum_{j=1}^\infty (\text{diam }S_j)^s : \{S_j\}_{j=1}^\infty \subset 2^{\mathbb R ^n} \text{ covers } A \text{ and } \text{diam } S_j < \delta \right\} $$
Es fácil ver que $\mathcal H^s_\delta(A)$ es no creciente en $\delta$. Sin embargo, no acabo de entender por qué $\mathcal H^s_\delta(A)$ no es en realidad constante en $\delta$ por cada $A$; parecería que el infimum debe lograrse como los diámetros de los conjuntos de $S_j$ más pequeños y más pequeños, lo que significa que la delimitación de la diámetro de $S_j$ por encima de por $\delta$ debe hacer nada en absoluto a $\inf\sum_{j=1}^\infty (\text{diam }S_j)^s $. Por otra parte, supongamos que nos acercamos a la medida de Lebesgue de forma análoga. Deje $\mathscr{L^n}(A)$ $n$- dimensional de la medida de Lebesgue, y vamos a
$$\mathscr{L_\delta^n}(A) := \inf\left\{\sum_{j=1}^\infty|B_j| : \{B_j\}_{j=1}^\infty \subset 2^{\mathbb R ^n} \text{ is a box cover of } A \text{ and } \text{diam } B_j < \delta \right\} $$
nos encontramos con que $\mathscr{L^n_\delta}(A)$ es constante en $\delta$, de forma que para cualquier $\delta>0$
$$\mathscr{L^n}(A) = \mathscr{L^n_\delta}(A)= \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\mathscr{L^n_\epsilon}(A)$$
Entonces, ¿qué acerca del cambio de los volúmenes de cajas para diámetros de arbitraria de conjuntos hace $\mathcal H^s_\delta(A)$ no necesariamente constante en $\delta$?
Esta pregunta alude a una mucho más general, la pregunta acerca de la construcción de exterior, medidas a través del método de Carathéodory. Una breve recapitulación en este método (como he aprendido en la clase): Supongamos $\mathcal F$ es una colección de subconjuntos de algunos de espacio métrico $X$, vamos a $A\subset X$, y considere el siguiente conjunto de $$\mathcal C_{\delta, \mathcal F}(A) : = \left\{\{S_j\}^\infty\subset \mathcal F \mid \{S_j\}^\infty \text{ covers } A \text{ and } \text{diam }S_j< \delta\right\}$$ y considerar cualquier función de $\zeta: \mathcal F \rightarrow [0,\infty]$. A continuación, las siguientes funciones exterior medidas:
$$\mu_{\delta, \mathcal F}(A) := \inf_{\{S_j\}^\infty \in \mathcal C_{\delta, \mathcal F}(A)} \sum^\infty_{j=1} \zeta(S_j)$$ $$\mu_{\mathcal F}(A) := \lim_{\delta \downarrow 0}\mu_{\delta, \mathcal F}(A)$$ Observe que la medida de Hausdorff $\mathcal H ^ s(A)$ es el caso especial donde $\mathcal F = 2^X$$\zeta(S) = (\text{diam } S)^s$. Bajo qué condiciones es $\mu_{\delta,\mathcal F}(A)$ no es constante en $\delta$ por cada $A$, como es el caso de $\mathcal H^s_{\delta}$?
