$A+B$ es no singular y $C=(A+B)^{-1}(A-B)$,luego de demostrar que $C^TAC=A$

Question

Si $A$ es simétrica y $B$ es un sesgo matriz simétrica y $A+B$ es no singular y $C=(A+B)^{-1}(A-B)$,luego de demostrar que $C^TAC=A$.

---

Mi Intento:
$C^T=((A+B)^{-1}(A-B))^T=(A-B)^T((A+B)^{-1})^T=(A^T-B^T)((A+B)^T)^{-1}$
$C^T=(A+B)(A-B)^{-1}$

$C^TAC=(A+B)(A-B)^{-1}A(A+B)^{-1}(A-B)$

Pero estoy atascado aquí y no podía resolver más.Por favor me ayude.Gracias.

Answer 1

Primero de todo, nos muestran que la $C^T(A+B)C=A+B.$ hacer que:

$$\begin{align}(A+B)(A-B)^{-1}(A+B)(A+B)^{-1}(A-B) & \\ & \underbrace{=}_{(A+B)(A+B)^{-1}=I}(A+B)(A-B)^{-1}(A-B)\\ & \underbrace{=}_{(A-B)(A-B)^{-1}=I}A+B.\end{align}$$

En una manera similar podemos ver que $C^T(A-B)C=A-B.$ de Hecho:

$$\begin{align}(A+B)(A-B)^{-1}(A-B)(A+B)^{-1}(A-B) & \\ & \underbrace{=}_{(A-B)(A-B)^{-1}=I}(A+B)(A+B)^{-1}(A-B)\\ & \underbrace{=}_{(A+B)(A+B)^{-1}=I}A-B.\end{align}$$

Finalmente, la adición de las dos igualdades obtenemos el resultado deseado.