es $324+455^n$ nunca prime

Question

Otra cuestión que sólo puede resolver en parte.

Hay un $n$ tal que $324+455^n$ es primo?

Al $n$ es impar, esto es falso, ya que

$$ 324+455^n = (2\cdot 3^2)^2+(5\cdot 91)^n \equiv (-1)^2+(5\cdot 15)^n \equiv 1+(6\cdot 3)^n \equiv 1+(-1)^n\pmod{19}$$

de modo que $19\mid 324+455^n$ siempre $n$ es impar. Ahora, ¿qué acerca de la $n$ aun?

Answer 1

Vamos a analizar tres casos posibles:

Si $n\equiv 1\pmod 2$, $455^n+324 \equiv 0\pmod {19}$ porque

$$\begin{eqnarray} (455^1+324) & = & 19\times 41 \\ (455^2-1) & = & 19\times 10896\\ \end{eqnarray}$$

Si $n\equiv 2\pmod 4$, $455^n+324 \equiv 0\pmod {17}$ porque $$\begin{eqnarray} (455^2+324) & = & 17\times 12197\\ (455^4-1) & = & 17\times 2521138272\\ \end{eqnarray}$$

Por último, si $n=4k$, podemos aplicar la igualdad de $$x^4+4y^4 = (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$$ to $x=455^k$ and $y=3$ to obtain $$455^{4k}+4\cdot3^4 = (455^{2k} + 6\cdot 455^k + 18)(455^{2k}-6\cdot 455^k + 18)$$

Ya que ambos factores son estrictamente mayor que $1$, su producto es sin duda un número compuesto.

Por lo tanto, la cantidad de $455^n+324$ no es un primo para cualquier número natural $n$.

Answer 2

He comprobado por pequeño $n$, y puedo afirmar que $$5 \mid 324+455^0\\17\mid 324+455^2\\89\mid324+455^4\\17\mid 324+455^6$$ Creo que estos ejemplos ayudan a ver el camino...de hecho $$324+455^{2+4k}\equiv1+455^2\cdot455^{4k}\equiv1-1\cdot(455^4)^k\equiv1-1\cdot1^k\equiv1-1\equiv0 \pmod{17}$$