Probabilidad de las relaciones en una red

Question

Imagina que tengo un gráfico aleatorio con $n$ nodos que representan a las personas. Entre cada dos nodos hay una arista que representa la amistad con probabilidad $p_2$ . Estas aristas se generan de forma independiente, por lo que espero que haya $\binom{n}{2}p_2$ amigos. Ahora, imagina, cuento (observo) el número de veces que 3 personas son amigas entre sí en este mundo: $\binom{n}{3} p_3$ . Por lo tanto, espero que la probabilidad de que tres personas al azar sean amigas sea $p_3$ . (probabilidades $p_2, p_3 \in [0..1]$ )

Intento calcular la probabilidad de que 4 personas cualesquiera de mi mundo sean amigas entre sí. Sin saber $p_3$ Yo estimaría que la probabilidad es de $p_2^6$ . Pero, obviamente, sabiendo $p_3$ influye en la probabilidad. Por ejemplo, si $\frac{p_3}{p_2}$ aumenta, espero que las amistades sean más densas y, por tanto, más 4 personas formarán grupos. Sin embargo, tengo problemas para encontrar una fórmula que exprese esta probabilidad, porque las probabilidades de que los diferentes subgrupos de 3 personas sean amigos no son independientes. Y si tomo cuatro personas al azar la probabilidad de que al menos 3 subgrupos de tres personas sean amigos es la misma que la de que al menos 4 subgrupos de tres personas sean amigos.

¿Podría dar algún consejo sobre cómo se suele calcular un problema de este tipo o qué hay que buscar? ¿Por qué factor $\frac{p_3}{p_2}$ aumentar la probabilidad de una tercera arista de conexión en presencia de dos aristas? Supongo que esto se expresaría de alguna manera utilizando probabilidades condicionales, aunque no consigo averiguar exactamente cómo.

Answer 1

La respuesta es sencilla:

Para $n$ nodos con probabilidad $p$ de una arista de conexión, la probabilidad $p_n$ que un grupo dado de todos los nodos seleccionados tienen aristas de conexión mutua es:

$p_n = p^ \frac{n!}{2(n-2)!}$

Es decir, la probabilidad combinada de que el número requerido de aristas únicas se produzca simultáneamente.

Para ilustrar:

para $n = 2$ :

$p_n = p_{12}$

para $n = 3$ :

$p_n = (p_{12})(p_{13})(p_{23})$

para $n = 4$ :

$p_n = (p_{12})(p_{13})(p_{14})(p_{23})(p_{24})(p_{34})$

Como la probabilidad de cualquier arista de conexión se ha definido como $p$ no es necesario delimitar más la probabilidad de que dos nodos concretos tengan una arista de conexión.

Por lo tanto:

para $n = 2$ :

$p_n = p^1$ (identidad)

para $n = 3$ :

$p_n = p^3$

para $n = 4$ :

$p_n = p^6$

La probabilidad de que se produzca una arista entre dos nodos no se ve afectada por el hecho de que uno de los nodos tenga otras aristas de conexión.

Factor de inclusión mutua

Sin embargo, si está buscando una probabilidad $p_n$ dado un condicional $p(s)$ que depende del número de otras conexiones compartidas $s$ :

$p(s)$ = probabilidad de una arista compartida dada $s$ conexiones mutuas con otros nodos

Para ilustrar:

para $n = 2$ y $s_{12} = 2$ :

$p_n = p(s_{12})$

para $n = 3$ :

$p_n = (p(s_{12}))(p(s_{13}))(p(s_{23}))$

para $n = 4$ :

$p_n = (p(s_{12}))(p(s_{13}))(p(s_{14}))(p(s_{23}))(p(s_{24}))(p(s_{34}))$

etc.

$p(s)$ tendría que determinarse mediante un análisis de su red en particular (cuál es la probabilidad de que dos nodos compartan una arista dado que comparten conexiones con $s$ otros nodos?) como lo haría $p$ en el caso original.