Subaditividad del módulo de continuidad de càdlàg

Question

Dejemos que $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ sea una función y defina $$\varpi'_f(\delta) = \inf_{\{t_i\}} \max_{i=1,\dots,n} \sup_{t,s \in [t_{i-1},t_{i})}|f(t)-f(s)|$$ donde el mínimo se toma sobre todas las particiones $0=t_0<t_1 < \cdots <t_n =1$ con $\min_{i=1,\dots,n}(t_i - t_{i-1})> \delta$ .

Estaba tratando de probar algo como $$\varpi'_{f+g}(\delta) \leq \varpi'_f(\delta) + \varpi'_g(\delta)$$ pero no pude hacerlo por el infimus

cualquier ayuda será apreciada

Answer 1

Esto no es cierto. Toma:

\begin {align} &f(t) = \left\ { \begin {array}{ll} 0 & \mbox { si $0 \leq x < 0.5$ } \\ 1 & \mbox { si $0.5 \leq x \leq 1$ } \end {array} \right.\\ &g(t) = \left\ { \begin {array}{ll} 0 & \mbox { si $0 \leq x < 0.6$ } \\ 1 & \mbox { si $0.6 \leq x \leq 1$ } \end {array} \right.\\ \end {align}

Entonces $\varpi_f'(0.3) = \varpi_g'(0.3) = 0$ pero $\varpi_{f+g}'(0.3)=1$ .