Considerar la infinita suma $$S = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^{k-1} e^{-k}}{k!}.$$ Tenga en cuenta que una versión básica de Stirling fórmula dice que $k! \ge (k/e)^k \sqrt{2\pi k}$, y esto nos dice que $$S_N = \sum_{k=1}^N \frac{k^{k-1} e^{-k}}{k!} \le \sum_{k=1}^N \frac{k^{k-1} e^{-k}}{k^k e^{-k} \sqrt{2\pi k}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k=1}^N k^{-3/2},$$ y por lo $S_N \to S$ $S$ una serie convergente. Por otra parte, una forma más fuerte de la fórmula de Stirling dice que $k! \ge (k/e)^k \sqrt{2\pi k} e^{1/(12k + 1)}$. Conectar este mismo da $$S \le \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \sum_{k=1}^\infty k^{-3/2} e^{-1/(12k+1)}.$$
WolframAlpha nos dice aquí que esta suma valor numérico aproximadamente $0.95$, y específicamente $S<1$. Sin embargo, al preguntar a WolframAlpha lo $S$ es directamente aquí, se dice que el $S = 1$.
Tan lejos como puedo ver, estos dos reclamos por WolframAlpha no puede ser constante. Es decir, a menos de que he cometido un error en alguna parte... tenga en cuenta que yo no he utilizado una aproximación para todos los $k$ que sólo es válido para un gran $k$: Wikipedia reclamaciones (a través de este documento) que la forma más fuerte tiene para todos los enteros positivos $k$, no solo lo suficientemente grandes.
Si alguien pudiera aclararme, yo estaría más que agradecido!
Tenga en cuenta que este SE pregunta junto con el hecho de que $z \mapsto z e^{-z}$ es únicamente maximizada en $z = 1$ nos dice que $S = 1$. De hecho, teniendo en $x = 1/e$ no nos da ese $S$ satisface $S e^{-S} = e^{-1}$, y sólo el $S$ satisfacer este es $S = 1$, por la maximización de los bienes mencionados anteriormente.
Así que parece que WolframAlpha es ser picado por el redondeo de los errores de redondeo. Gracias a todos por los comentarios.
