¿Qué es lo bueno de las álgebras de Lie simples?

Question

Recientemente he estado leyendo Ingenua Mentira Teoría de John Stillwell. En el libro nuestro objetivo normalmente se refiere a encontrar si álgebras de Lie o Mentira grupos son simples.

Me pregunto qué hermoso propiedades de una simple Mentira álgebra?

Bueno, sólo he aprendido de álgebra lineal, análisis matemático y un poco de álgebra abstracta, por lo que me podría esperar una más amateur respuesta~ Creo que puede haber otros lectores de el libro de compartir la misma pregunta. Y una buena respuesta nos puede ayudar a ganar más motivación para aprender acerca de la Mentira de la teoría de la~

Muchas gracias!!!

Answer 1

Primero de todo, tenemos una clasificación completa de la (compleja) simple álgebras de Lie. Es decir, tenemos que cada simple Mentira álgebra es uno de los siguientes:

• $\mathfrak{sl}(n)$
• $\mathfrak{so}(n)$
• $\mathfrak{sp}(2n)$
• uno de los cinco excepcional simple álgebras de Lie $\mathfrak{e}_6$, $\mathfrak{e}_7$, $\mathfrak{e}_8$, $\mathfrak{f}_4$ y $\mathfrak{g}_2$

Esto nos da directamente una clasificación de todos los semisimple álgebras de Lie (es decir, el "bien comportado" álgebras de Lie). También ayuda el estudio general de álgebras de Lie a través de Levi's teorema, que dice que cada Mentira álgebra es la semi-producto directo de su radical (es decir, su máxima solución ideal) y una simple Mentira álgebra.