Disparar balas

Question

Esto es de http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/challenges/May2014.html

Cada segundo, una pistola dispara una bala en la misma dirección, en un azar de la constante de velocidad entre 0 y 1.

La velocidad de las balas son independientes uniforme de variables aleatorias. Cada bala mantiene exactamente la misma velocidad y cuando dos balas chocan, ambos son aniquilados.

Después de disparar $n$ balas, demostrar que la probabilidad de que eventualmente todas las balas serán aniquilados es cero si $n$ es impar y $\prod_{i=1}^{n/2} \frac{2i-1}{2i}$ al $n$ es incluso.

Traté de escribir la recursividad sin éxito, y de la cadena de Markov, pero yo no veo cómo les ayuda aquí. El caso de $n\equiv 1 \pmod 2$ parece ser trivial.

Answer 1

Me pregunto si en realidad necesita más información acerca de esas velocidades.

Vamos a tomar el caso en que $n=2.$ La fórmula dice que la probabilidad de la aniquilación total debería ser $\frac38=\frac9{24}.$

Las velocidades se $v_1<v_2<v_3<v_4,$ y me referiré a estas velocidades por sus subíndices.

Hay 24 órdenes posibles en los que las balas que se dispararon.

En 7 de los 24 pedidos, la aniquilación es cierto: 2143, 3142, 3241, 3412, 4132, 4231, 4321.

En 13 de los 24, la aniquilación no va a suceder (que incluye todos los 1xxx y xxx4 órdenes).

Pero que deja a los siguientes cuatro órdenes: 2431, 3421, 4213, 4312.

En cada uno de esos cuatro, si la aniquilación total se produce o no depende de que el fin de las colisiones tienen lugar. Y eso depende de lo que las velocidades son.

Hay alguna forma de partición de estos cuatro eventos para que divide equitativamente? Tal vez, pero no he trabajado en los detalles.

Por ejemplo, si el 31 sucede antes de que 43 entonces 2431 se convierte en "no" y 4312 se convierte en "sí", dejando a los otros dos indecisos. Ese tipo de cosas.