Sea $f$,$g$ funciones enteras no constantes. Si la composición$g\circ f$ es un polinomio no constante, ¿podemos concluir que$f$ y$g$ son polinomios?
Respuestas
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Suponga que $f$ es todo y no es un polinomio. A continuación, $f$ tiene una singularidad esencial en a $\infty$.
Desde $g$ no es constante y todo, por Picard del Pequeño Teorema de, $g(\mathbb C) = \mathbb C$ o $w \in \mathbb C$ tal que $g(\mathbb C) = \mathbb C \setminus \{ w\}$. En cualquier caso, $g(\mathbb C)$ contiene un vecindario $\mathbb C \setminus D_R$ $\infty$ (aquí se $D_R$ es el disco de algún radio de $R$). Desde $f$ tiene una singularidad esencial en a $\infty$, Picard del Gran Teorema nos dice que $f(z)$ toma cada valor en $\mathbb C$ infinitamente a menudo (con la posible excepción de un punto) en $\mathbb C \setminus D_R$. Pero esto muestra que $(f\circ g)(z)$ toma en cada valor en $\mathbb C$ infinitamente muchas veces (posiblemente con la excepción de un punto). A continuación, $f\circ g$ no puede ser un polinomio dado un polinomio de grado $N$ puede tomar un valor dado en la mayoría de las $N$ veces. Contrapositively, si $f \circ g$ es un polinomio, entonces $f$ es un polinomio.
Suponga que $g$ es todo y no es un polinomio. A continuación, $g$ tiene una singularidad esencial en a $\infty$. Fijo $R > 0$, por Picard del Gran Teorema, $g(z)$ toma cada valor en $\mathbb C$ infinitamente a menudo (excepto, posiblemente, uno de valor) en $\mathbb C \setminus D_R$. Pero, a continuación, en particular, no es $a \in \mathbb C$ tal que $g(z) = a$ para infinidad de $z \in \mathbb C$. Pero, a continuación, $(f \circ g)(z) = f(a)$ para infinidad de $z \in \mathbb C$, una vez más, lo que implica que $f\circ g$ no es un polinomio. Contrapositively, si $f\circ g$ es un polinomio, entonces $g$ es un polinomio.
Así, tanto la $f$ $g$ son polinomios.
zhw.
Puntos
16255
Algunas propiedades básicas: 1. Si $h$ es todo y no constante, entonces $h(\mathbb C)$ es denso en $\mathbb C.$ (Casorati-Weierstrass y el teorema fundamental del álgebra). Por lo tanto si $D$ es denso en $\mathbb C,$ $h(D)$ es denso en $\mathbb C.$
- Si $p$ es un polinomio no constante, entonces para cada a $R>0,$ existe $R'>0$ tal que $p(\{|z|>R\})$ contiene $\{|z|>R'\}.$ (Una prueba de ello es esbozado en los comentarios.)
Ahora en nuestro problema $g\circ f$ es un polinomio no constante. Por lo tanto $(g\circ f) (\{|z|>R\})$ no es denso en $\mathbb C$ algunos $R>0.$
Si $f$ no es un polinomio, entonces $f (\{|z|>R\})$ es denso en $\mathbb C$ ((Casorati-Weierstrass). Por lo tanto $g(f (\{|z|>R\}))$ es denso en $\mathbb C$ por 1. anteriormente, conradiction. Por lo tanto $f$ es un polinomio.
Por 2., esto implica $f (\{|z|>R\})$ contiene algunos $\{|z|>R'\}.$ podemos suponer $R'>R.$ Si $g$ no es un polinomio, entonces mapas de $\{|z|>R'\}$ a un subconjunto denso de $\mathbb C$ (Casorati-Weierstrass). Por lo tanto $g\circ f$ mapas de $\{|z|>R\}$ a un subconjunto denso de $\mathbb C.$ Esto es una contradicción, demostrando $g$ es un polinomio.
